在数学分析中，泰勒公式是一种将函数展开为无穷级数的方法，它在近似计算、误差估计以及理论研究中有着广泛的应用。本文将详细介绍如何通过泰勒公式的定义推导出正切函数 \( \tan(x) \) 的泰勒展开式。
一、泰勒公式的定义
设函数 \( f(x) \) 在点 \( x_0 \) 处具有任意阶导数，则 \( f(x) \) 可以表示为：
\[
f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x - x_0)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^n + R_n(x)
\]
其中，\( R_n(x) \) 是余项，通常表示为拉格朗日型或佩亚诺型余项。
对于 \( \tan(x) \)，我们选择 \( x_0 = 0 \)，即在原点处进行展开。
二、正切函数的基本性质
正切函数 \( \tan(x) \) 的定义为：
\[
\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}
\]
其周期为 \( \pi \)，且在 \( x = k\pi + \frac{\pi}{2} \)（\( k \in \mathbb{Z} \)）处存在奇点。因此，泰勒展开只能在其收敛域内有效，即 \( |x| < \frac{\pi}{2} \)。
三、泰勒展开的具体推导
1. 计算各阶导数
首先，我们需要计算 \( \tan(x) \) 在 \( x = 0 \) 处的各阶导数值。由于 \( \tan(x) \) 的表达式较为复杂，我们将借助递推关系来简化计算。
- 当 \( n = 0 \) 时：
\[
f(0) = \tan(0) = 0
\]
- 当 \( n = 1 \) 时：
\[
f'(x) = \sec^2(x), \quad f'(0) = \sec^2(0) = 1
\]
- 当 \( n = 2 \) 时：
\[
f''(x) = 2\sec^2(x)\tan(x), \quad f''(0) = 0
\]
- 当 \( n = 3 \) 时：
\[
f'''(x) = 2\sec^4(x) + 4\sec^2(x)\tan^2(x), \quad f'''(0) = 2
\]
依此类推，可以得到更高阶导数的值。
2. 构造泰勒级数
根据泰勒公式的定义，将上述导数值代入公式：
\[
\tan(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n
\]
代入已知的导数值：
\[
\tan(x) = 0 + \frac{1}{1!}x + 0 + \frac{2}{3!}x^3 + \cdots
\]
化简后得到：
\[
\tan(x) = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \cdots
\]
四、总结
通过上述推导，我们得到了正切函数 \( \tan(x) \) 的泰勒展开式：
\[
\tan(x) = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \frac{17x^7}{315} + \cdots
\]
该展开式在 \( |x| < \frac{\pi}{2} \) 内收敛，可用于近似计算和理论分析。
希望本文对您有所帮助！
