在数学领域中，一元二次方程是一个基础且重要的概念。它的一般形式为 \( ax^2 + bx + c = 0 \)，其中 \( a \neq 0 \)。当我们讨论一元二次函数 \( f(x) = ax^2 + bx + c \) 的性质时，不可避免地会涉及到其极值问题。

对于一个开口向上的抛物线（即 \( a > 0 \)），其最低点是函数的最小值；而对于开口向下的抛物线（即 \( a < 0 \)），其最高点则是函数的最大值。这个极值点的位置可以通过求导来确定。

具体来说，我们首先对函数 \( f(x) \) 求导得到：

\[ f'(x) = 2ax + b \]

令 \( f'(x) = 0 \)，解得：

\[ x = -\frac{b}{2a} \]

这就是函数 \( f(x) \) 取得极值时的横坐标。将此 \( x \) 值代入原函数 \( f(x) \)，可以求得对应的纵坐标，即极值点的坐标为 \( \left( -\frac{b}{2a}, f\left(-\frac{b}{2a}\right) \right) \)。

进一步计算极值的具体数值：

\[ f\left(-\frac{b}{2a}\right) = a\left(-\frac{b}{2a}\right)^2 + b\left(-\frac{b}{2a}\right) + c \]

\[ = \frac{ab^2}{4a^2} - \frac{b^2}{2a} + c \]

\[ = \frac{b^2}{4a} - \frac{2b^2}{4a} + c \]

\[ = -\frac{b^2}{4a} + c \]

因此，一元二次函数 \( f(x) = ax^2 + bx + c \) 的极值公式为：

\[ y_{\text{极值}} = -\frac{b^2}{4a} + c \]

通过上述推导可以看出，掌握这一公式可以帮助快速找到任意一元二次函数的极值点。这不仅在理论研究中有重要意义，在实际应用中也极为广泛，例如在物理学中的运动学分析、经济学中的成本与收益模型等场景下都可能遇到此类问题。

总之，理解并熟练运用一元二次方程的极值公式，不仅能加深对数学知识的理解，还能提高解决实际问题的能力。