在行政管理领域，当行政机关依法对当事人作出行政处罚决定后，若当事人未能在规定期限内履行该决定，将引发一系列后续的法律程序和处理措施。本文旨在探讨此类情况下，作出行政处罚决定的行政机关应采取何种合法合规的方式进行处理，以维护公共利益和社会秩序。

首先，根据我国《行政处罚法》的相关规定，如果当事人未按期履行行政处罚决定，行政机关可以采取以下措施：

一、催告程序

在作出行政处罚决定时，行政机关应当明确告知当事人履行义务的具体期限及方式。若当事人逾期仍未履行，行政机关需先行进行书面催告。催告书应当载明履行义务的期限、方式以及当事人依法享有的陈述权和申辩权等权利，确保当事人的合法权益得到充分保障。

二、申请法院强制执行

经催告仍不履行的，行政机关可向人民法院申请强制执行。在此过程中，行政机关需提交完整的案件材料，包括但不限于行政处罚决定书、催告情况记录以及当事人未履行的具体表现等。人民法院将依据相关法律法规审查行政机关的申请是否符合法定条件，并作出相应的裁定。

三、其他措施

除上述常规程序外，行政机关还可结合实际情况采取适当的其他措施，如暂停相关业务活动、限制市场准入资格等，以促使当事人尽快履行义务。但需要注意的是，这些措施必须严格遵守法律规定，不得超出必要限度，避免对当事人造成不必要的损害。

综上所述，在面对当事人逾期不履行行政处罚决定的情形时，作出处罚决定的行政机关应严格按照法定程序操作，既确保执法行为的严肃性和权威性，又充分尊重和保护当事人的合法权益。同时，通过加强宣传教育，提高公众守法意识，从源头上减少此类问题的发生，共同构建和谐稳定的社会环境。