【二项分布公式是什么】在概率论与统计学中，二项分布是一个非常重要的离散概率分布，用于描述在n次独立的伯努利试验中，成功次数为k的概率。二项分布广泛应用于实际问题中，如抛硬币、产品质量检测、市场调研等。
一、二项分布的基本概念
二项分布适用于以下条件：
1. 试验是独立的：每次试验的结果互不影响。
2. 只有两种可能结果：通常称为“成功”和“失败”。
3. 每次试验成功的概率相同：记作p，失败的概率为1-p。
4. 试验次数固定：共进行n次试验。
二、二项分布公式
二项分布的概率质量函数（PMF）如下：
$$
P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k}
$$
其中：
- $ P(X = k) $：表示在n次独立试验中恰好发生k次成功的概率；
- $ C(n, k) $：组合数，表示从n次试验中选出k次成功的组合方式数量；
- $ p $：每次试验成功的概率；
- $ n $：试验总次数；
- $ k $：成功的次数（$ 0 \leq k \leq n $）。
三、组合数计算公式
组合数 $ C(n, k) $ 的计算公式为：
$$
C(n, k) = \frac{n!}{k!(n - k)!}
$$
其中，$ n! $ 表示n的阶乘。
四、二项分布的关键参数
| 参数 | 含义 | 公式 |
| n | 试验总次数 | 固定值 |
| k | 成功次数 | 变量（0 ≤ k ≤ n） |
| p | 每次成功的概率 | 0 ≤ p ≤ 1 |
| q = 1 - p | 每次失败的概率 | q = 1 - p |
| P(X = k) | 恰好k次成功的概率 | $ C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n-k} $ |
五、举例说明
假设我们掷一枚均匀的硬币5次（n=5），每次正面朝上的概率p=0.5，求恰好出现3次正面的概率。
使用公式计算：
$$
P(X = 3) = C(5, 3) \cdot (0.5)^3 \cdot (0.5)^{5-3} = 10 \cdot 0.125 \cdot 0.25 = 0.3125
$$
即，掷5次硬币恰好3次正面的概率是31.25%。
六、总结
二项分布是一种描述n次独立伯努利试验中成功次数概率的模型，其核心公式为：
$$
P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k}
$$
通过该公式，可以计算出在特定条件下事件发生的概率，是统计分析中非常实用的工具。
