【直线与圆相切的公式】在解析几何中，直线与圆的位置关系是重要的知识点之一。其中，“直线与圆相切”是最常见且具有实际应用价值的情况。本文将对直线与圆相切的相关公式进行总结，并以表格形式清晰展示。

一、基本概念

- 圆的一般方程：

$ (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 $，其中 $(a, b)$ 是圆心，$r$ 是半径。

- 直线的一般方程：

$ Ax + By + C = 0 $，其中 $A$、$B$ 不同时为零。

- 直线与圆相切的定义：

当直线与圆只有一个公共点时，称为直线与圆相切。此时，直线到圆心的距离等于圆的半径。

二、判断直线与圆相切的条件

1. 距离法：

直线到圆心的距离等于半径，即：

$$

d = \frac{Aa + Bb + C}{\sqrt{A^2 + B^2}} = r

$$

2. 代数法（联立方程）：

将直线方程代入圆的方程，得到一个关于 $x$ 或 $y$ 的二次方程。若判别式 $\Delta = 0$，则说明直线与圆相切。

三、直线与圆相切的公式总结

四、实例分析

例题：已知圆 $ (x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 4 $，直线 $ x + y - 3 = 0 $，判断是否相切。

解：

- 圆心为 $(1, 2)$，半径 $r = 2$

- 直线 $x + y - 3 = 0$，即 $A=1, B=1, C=-3$

计算距离：

$$

d = \frac{1 \cdot 1 + 1 \cdot 2 - 3}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{1 + 2 - 3}{\sqrt{2}} = \frac{0}{\sqrt{2}} = 0

$$

由于 $d = 0 < r = 2$，说明直线穿过圆，不是相切关系。

五、总结

直线与圆相切是解析几何中的重要内容，掌握其判断方法和相关公式有助于解决实际问题。通过距离法或代数法均可判断直线与圆的位置关系，而公式则是快速判断的关键工具。理解并熟练运用这些公式，能有效提升解题效率与准确性。