【常用傅里叶变换公式表】傅里叶变换是信号处理、通信工程、物理学和数学中非常重要的工具，它能够将时域信号转换为频域表示，从而便于分析和处理。本文总结了一些常用的傅里叶变换对，适用于连续时间信号（CTFT）和离散时间信号（DTFT）的常见函数，帮助读者快速查阅和应用。
一、傅里叶变换基本概念
傅里叶变换的基本思想是：任何满足一定条件的函数都可以表示为不同频率的正弦和余弦函数的线性组合。根据信号的类型（连续或离散），傅里叶变换分为：
- 连续时间傅里叶变换（CTFT）
- 离散时间傅里叶变换（DTFT）
二、常用傅里叶变换公式表
以下是一些常见的信号及其对应的傅里叶变换结果，涵盖连续和离散两种情况。
| 信号 $ x(t) $ 或 $ x[n] $ | 傅里叶变换 $ X(f) $ 或 $ X(e^{j\omega}) $ | 说明 |
| $ \delta(t) $ | $ 1 $ | 冲激函数的傅里叶变换为常数 |
| $ 1 $ | $ \delta(f) $ | 常数信号在频域为冲激函数 |
| $ e^{j2\pi f_0 t} $ | $ \delta(f - f_0) $ | 复指数信号的傅里叶变换为冲激函数 |
| $ \cos(2\pi f_0 t) $ | $ \frac{1}{2}[\delta(f - f_0) + \delta(f + f_0)] $ | 余弦信号的傅里叶变换为两个冲激 |
| $ \sin(2\pi f_0 t) $ | $ \frac{1}{2j}[\delta(f - f_0) - \delta(f + f_0)] $ | 正弦信号的傅里叶变换为两个冲激 |
| $ u(t) $ | $ \frac{1}{j2\pi f} + \frac{1}{2}\delta(f) $ | 阶跃函数的傅里叶变换包含冲激和奇函数项 |
| $ \text{rect}(t) $ | $ \text{sinc}(f) $ | 矩形脉冲的傅里叶变换为 sinc 函数 |
| $ \text{sinc}(t) $ | $ \text{rect}(f) $ | sinc 函数的傅里叶变换为矩形函数 |
| $ \text{rect}(n) $ | $ \frac{\sin(\omega/2)}{\omega/2} $ | 离散矩形序列的 DTFT 为 sinc 函数形式 |
| $ \text{tri}(n) $ | $ \text{sinc}^2(\omega/2) $ | 三角脉冲的 DTFT 为 sinc 平方形式 |
| $ a^n u[n] $ | $ \frac{1}{1 - ae^{-j\omega}} $ | 指数序列的 DTFT 为有理函数 |
三、注意事项
1. 傅里叶变换的对称性：许多函数具有共轭对称性，例如实信号的傅里叶变换满足 $ X(-f) = X^(f) $。
2. 频域卷积定理：时域乘积对应频域卷积，反之亦然。
3. 能量守恒：根据帕塞瓦尔定理，信号的能量在时域和频域中保持不变。
4. 采样与频谱混叠：在离散系统中，需注意采样率是否满足奈奎斯特条件，避免频谱混叠。
四、结语
傅里叶变换不仅是理论研究的重要工具，也是实际工程中不可或缺的分析手段。掌握这些常用变换公式，有助于提高信号处理效率，加深对信号特性的理解。建议结合具体应用场景进行练习，以达到灵活运用的目的。
