【直线与圆相交的弦长公式】在解析几何中，直线与圆的位置关系是常见的研究内容之一。当一条直线与一个圆相交时，它们会有两个交点，这两个交点之间的线段称为“弦”。求解这条弦的长度是数学中的一个重要问题，尤其在几何、物理和工程等领域有着广泛的应用。

为了更清晰地理解直线与圆相交的弦长公式，我们可以从以下几个方面进行总结，并通过表格形式展示关键信息。

一、基本概念

二、弦长公式的推导思路

1. 联立方程：将直线方程代入圆的方程，得到一个关于 $x$（或 $y$）的一元二次方程。

2. 判别式判断位置关系：根据判别式 $\Delta$ 判断直线与圆是否相交。

3. 求根公式：若相交，则利用求根公式求出两个交点的坐标。

4. 两点间距离公式：使用两点间的距离公式计算弦长。

三、弦长公式表达方式

方法一：利用圆心到直线的距离

设圆心为 $(a, b)$，半径为 $r$，直线为 $Ax + By + C = 0$，则：

- 圆心到直线的距离 $d = \frac{Aa + Bb + C}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

- 若 $d < r$，则直线与圆相交

- 弦长 $L = 2\sqrt{r^2 - d^2}$

方法二：利用参数法（适用于斜截式）

设直线为 $y = kx + b$，圆为 $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$，联立后得：

$$

(x - a)^2 + (kx + b - b)^2 = r^2 \Rightarrow (x - a)^2 + (kx)^2 = r^2

$$

整理为标准二次方程，求出两交点的横坐标 $x_1$ 和 $x_2$，再用距离公式：

$$

L = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}

$$

四、常见应用场景

五、典型例题

题目：已知圆 $x^2 + y^2 = 25$，直线 $y = x + 3$，求其与圆相交的弦长。

解答：

1. 将 $y = x + 3$ 代入圆方程：

$$

x^2 + (x + 3)^2 = 25 \Rightarrow x^2 + x^2 + 6x + 9 = 25 \Rightarrow 2x^2 + 6x - 16 = 0

$$

2. 解得 $x_1 = 2$, $x_2 = -4$

3. 对应的 $y_1 = 5$, $y_2 = -1$

4. 弦长：

$$

L = \sqrt{(2 - (-4))^2 + (5 - (-1))^2} = \sqrt{6^2 + 6^2} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}

$$

六、总结对比表

通过以上分析可以看出，直线与圆相交的弦长公式不仅具有理论价值，也在实际应用中发挥着重要作用。掌握这些公式并灵活运用，有助于提高解决几何问题的能力。