在概率论与数理统计中，数学期望是一个非常重要的概念，它反映了随机变量取值的平均水平。简单来说，数学期望可以理解为一个加权平均值，其中每个可能的结果都按照其发生的概率进行加权。

对于离散型随机变量X，其数学期望E(X)的公式如下：

\[ E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot P(x_i) \]

在这个公式中，\(x_i\) 表示随机变量X的所有可能取值，而 \(P(x_i)\) 则是对应这些取值的概率。通过将每一个可能的取值与其出现的概率相乘，并对所有可能的取值求和，我们就可以得到这个随机变量的数学期望。

而对于连续型随机变量X，其数学期望E(X)则是通过积分来定义的：

\[ E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) dx \]

这里，\(f(x)\) 是随机变量X的概率密度函数。同样地，我们将每一个可能的取值x与它对应的概率密度函数值相乘，并在整个实数范围内对这个乘积进行积分，从而计算出期望值。

数学期望不仅能够帮助我们更好地理解和预测随机现象的行为模式，还在金融学、工程学等多个领域有着广泛的应用。例如，在投资决策过程中，投资者可以通过计算不同投资方案的预期收益来选择最优的投资策略；而在质量控制方面，则可以利用数学期望来评估生产过程中的产品合格率等指标。

总之，数学期望作为概率论中最基础且核心的概念之一，为我们提供了一种量化分析随机事件的方法。掌握好这一工具，将有助于我们在面对复杂多变的实际问题时做出更加科学合理的判断和决策。