在数学分析中，三角函数是重要的研究对象之一，而正弦函数（sinx）作为最基本的周期函数之一，其导数公式具有广泛的应用价值。本文将从定义出发，通过严谨的推导过程，给出sinx的导数公式。

首先回顾导数的基本定义：

对于一个函数f(x)，如果极限

\[

\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}

\]

存在，则称该极限为f(x)在点x处的导数，记作f'(x)或df/dx。

接下来，我们针对sinx进行具体推导。设f(x)=sinx，则根据导数定义有：

\[

f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sin(x+h)-\sin x}{h}.

\]

利用三角恒等式sin(a+b)=sinacosb+cosasinb，可以将分子部分展开为：

\[

\sin(x+h)-\sin x = (\sin x \cos h + \cos x \sin h) - \sin x.

\]

进一步整理后得到：

\[

\sin(x+h)-\sin x = \sin x (\cos h - 1) + \cos x \sin h.

\]

将其代入导数定义表达式中，即：

\[

f'(x) = \lim_{h \to 0} \left[ \frac{\sin x (\cos h - 1)}{h} + \frac{\cos x \sin h}{h} \right].

\]

注意到上述两项可以分别处理。先看第一项：

\[

\lim_{h \to 0} \frac{\sin x (\cos h - 1)}{h}.

\]

由于sinx是一个常数，可以直接提出来，因此问题转化为计算：

\[

\lim_{h \to 0} \frac{\cos h - 1}{h}.

\]

利用泰勒展开近似公式cos h ≈ 1 - h²/2 + ...，当h趋于0时，(cos h - 1)/h趋于0。所以第一项的结果为0。

再看第二项：

\[

\lim_{h \to 0} \frac{\cos x \sin h}{h}.

\]

同样地，cosx是一个常数，可提出来，于是问题变为计算：

\[

\lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h}.

\]

这是一个经典的极限问题，结果为1。因此，第二项的结果为cosx。

综上所述，sinx的导数为：

\[

f'(x) = \cos x.

\]

这就是sinx的导数推导全过程。希望本文能够帮助读者加深对这一重要结论的理解，并掌握其背后的逻辑推导方法。