【立体几何求点到平面的距离】在立体几何中，点到平面的距离是一个常见的问题，尤其在空间解析几何中有着广泛的应用。掌握这一知识点有助于理解空间中点、线、面之间的位置关系，并为后续的三维几何计算打下基础。

一、基本概念

- 点：空间中的一个坐标（如 $ P(x_0, y_0, z_0) $）

- 平面：由一般式方程表示：$ Ax + By + Cz + D = 0 $，其中 $ A, B, C $ 是法向量的分量

- 点到平面的距离：从该点垂直投影到平面上的线段长度

二、公式推导与应用

点 $ P(x_0, y_0, z_0) $ 到平面 $ Ax + By + Cz + D = 0 $ 的距离公式为：

$$

d = \frac{Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}

$$

这个公式基于向量投影原理，利用点在平面上的投影方向与法向量一致的特点进行计算。

三、解题步骤总结

1. 确定点的坐标：明确点的三维坐标 $ (x_0, y_0, z_0) $

2. 写出平面的一般式方程：确认平面的系数 $ A, B, C, D $

3. 代入公式计算：将点坐标和系数代入公式求出距离

4. 注意符号：分子部分使用绝对值，确保结果为正数

四、典型例题与解答

五、注意事项

- 公式适用于所有非平行于坐标轴的平面；

- 若点在平面上，则距离为 0；

- 计算时注意单位统一，避免因单位不同导致误差；

- 可通过向量法或几何法验证答案是否合理。

六、总结

点到平面的距离是立体几何中的重要知识点，其计算方法简洁且实用。掌握该公式的应用不仅能提高解题效率，还能加深对空间几何的理解。通过练习不同类型的题目，可以进一步巩固这一知识，并灵活运用于实际问题中。