【求极限lim的常用公式是什么】在数学中，极限是微积分和分析学的基础概念之一。求极限（lim）是解决函数变化趋势、连续性、导数与积分等问题的关键工具。掌握一些常用的极限公式，有助于快速计算和理解函数的行为。以下是对常见极限公式的总结。
一、基本极限公式
| 公式 | 说明 | 适用条件 |
| $\lim_{x \to a} c = c$ | 常数的极限等于常数本身 | $c$ 为常数，$a$ 为实数 |
| $\lim_{x \to a} x = a$ | 自变量趋近于某值时，其极限为其本身 | $a$ 为实数 |
| $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ | 三角函数中的重要极限 | $x$ 趋近于 0 |
| $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x} = 0$ | 余弦函数的极限 | $x$ 趋近于 0 |
| $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$ | 指数函数的极限 | $x$ 趋近于 0 |
| $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1$ | 对数函数的极限 | $x$ 趋近于 0 |
二、无穷小量与无穷大量
| 公式 | 说明 | 适用条件 |
| $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} = \infty$ | $x$ 趋近于 0 的正方向时，极限为正无穷 | $x \to 0^+$ |
| $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} = -\infty$ | $x$ 趋近于 0 的负方向时，极限为负无穷 | $x \to 0^-$ |
| $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0$ | $x$ 趋近于无穷大时，其倒数趋于 0 | $x \to \infty$ |
| $\lim_{x \to \infty} x^n = \infty$ | 幂函数在 $x$ 趋近于无穷时的极限 | $n > 0$，$x \to \infty$ |
三、洛必达法则（L’Hospital’s Rule）
当遇到 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$ 等不定型时，可以使用洛必达法则：
$$
\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}
$$
适用条件：
- $f(x)$ 和 $g(x)$ 在 $x=a$ 处可导；
- $\lim_{x \to a} f(x) = 0$ 且 $\lim_{x \to a} g(x) = 0$，或两者都为 $\infty$；
- $\lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ 存在。
四、泰勒展开与等价无穷小替换
| 公式 | 说明 | 适用条件 |
| $\sin x \sim x$ | 当 $x \to 0$ 时，$\sin x$ 与 $x$ 等价 | $x \to 0$ |
| $\tan x \sim x$ | $\tan x$ 与 $x$ 等价 | $x \to 0$ |
| $\ln(1 + x) \sim x$ | $\ln(1 + x)$ 与 $x$ 等价 | $x \to 0$ |
| $e^x - 1 \sim x$ | $e^x - 1$ 与 $x$ 等价 | $x \to 0$ |
五、其他常见极限形式
| 公式 | 说明 | 适用条件 |
| $\lim_{x \to 0} (1 + x)^{1/x} = e$ | 数学中的自然常数 $e$ 的定义 | $x \to 0$ |
| $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e$ | 另一种 $e$ 的表达方式 | $x \to \infty$ |
| $\lim_{x \to 0} \frac{a^x - 1}{x} = \ln a$ | 指数函数的导数 | $a > 0$, $a \neq 1$ |
总结
在求解极限问题时，掌握上述常用公式和方法是非常有帮助的。这些公式不仅适用于基础的极限计算，也常常作为更复杂问题的突破口。合理运用等价无穷小、洛必达法则、泰勒展开等技巧，能有效提升解题效率与准确性。
建议在学习过程中多做练习，结合图形辅助理解极限的变化趋势，从而更好地掌握极限的相关知识。
