【高中微积分基本公式】微积分是高中数学中非常重要的一部分，它主要研究函数的变化率和累积量。在高中阶段，学生会接触到微分与积分的基本概念和常用公式。掌握这些公式不仅能帮助理解数学的本质，还能为后续的大学课程打下坚实的基础。
以下是对高中微积分基本公式的总结，包括导数和积分的主要内容，并以表格形式进行清晰展示。
一、导数基本公式
导数用于描述函数在某一点处的变化率，是微分学的核心内容。以下是常见的导数公式：
| 函数表达式 | 导数 |
| $ f(x) = c $（常数） | $ f'(x) = 0 $ |
| $ f(x) = x^n $（n为实数） | $ f'(x) = nx^{n-1} $ |
| $ f(x) = \sin x $ | $ f'(x) = \cos x $ |
| $ f(x) = \cos x $ | $ f'(x) = -\sin x $ |
| $ f(x) = e^x $ | $ f'(x) = e^x $ |
| $ f(x) = a^x $（a>0, a≠1） | $ f'(x) = a^x \ln a $ |
| $ f(x) = \ln x $（x>0） | $ f'(x) = \frac{1}{x} $ |
| $ f(x) = \log_a x $（x>0, a>0, a≠1） | $ f'(x) = \frac{1}{x \ln a} $ |
二、积分基本公式
积分是导数的逆运算，主要用于计算面积、体积等累积量。以下是常见的不定积分和定积分公式：
（1）不定积分基本公式
| 函数表达式 | 不定积分 | ||
| $ f(x) = c $ | $ \int c \, dx = cx + C $ | ||
| $ f(x) = x^n $（n ≠ -1） | $ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $ | ||
| $ f(x) = \sin x $ | $ \int \sin x \, dx = -\cos x + C $ | ||
| $ f(x) = \cos x $ | $ \int \cos x \, dx = \sin x + C $ | ||
| $ f(x) = e^x $ | $ \int e^x \, dx = e^x + C $ | ||
| $ f(x) = \frac{1}{x} $ | $ \int \frac{1}{x} \, dx = \ln | x | + C $ |
| $ f(x) = a^x $（a>0, a≠1） | $ \int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln a} + C $ | ||
| $ f(x) = \frac{1}{x^2 + a^2} $ | $ \int \frac{1}{x^2 + a^2} \, dx = \frac{1}{a} \arctan\left(\frac{x}{a}\right) + C $ |
（2）定积分基本公式（牛顿-莱布尼茨公式）
若 $ F(x) $ 是 $ f(x) $ 的一个原函数，则：
$$
\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)
$$
三、常见微积分应用
1. 求极值：利用导数判断函数的增减性，寻找最大值或最小值。
2. 求曲线的切线方程：通过导数计算某点处的斜率，进而写出切线方程。
3. 计算面积：利用定积分计算由曲线围成的区域面积。
4. 物理应用：如速度、加速度、位移之间的关系。
四、注意事项
- 在使用微积分公式时，要注意定义域和连续性的要求。
- 对于复合函数，应使用链式法则求导；对于复杂函数，可能需要使用分部积分法或换元积分法。
- 定积分的结果是一个数值，而不定积分的结果是一个函数族，需加上任意常数 $ C $。
通过掌握上述基本公式和应用方法，高中生可以更好地理解微积分的思想，并在实际问题中灵活运用。
