【基本不等式公式是那四个】在数学学习中，尤其是高中阶段的代数和不等式部分，“基本不等式”是一个非常重要的知识点。它不仅在考试中频繁出现，也是解决实际问题时常用的工具。那么，到底有哪些“基本不等式”呢？下面将从和表格两个方面，系统地介绍这四个常见的基本不等式。
一、
基本不等式通常指的是在数学中经常使用、具有广泛适用性的四个重要不等式。它们分别是：
1. 均值不等式（AM ≥ GM）
对于任意非负实数 $ a $ 和 $ b $，有：
$$
\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}
$$
等号成立当且仅当 $ a = b $。
2. 柯西不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）
对于任意实数 $ a_1, a_2, \ldots, a_n $ 和 $ b_1, b_2, \ldots, b_n $，有：
$$
(a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + \cdots + b_n^2) \geq (a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n)^2
$$
等号成立当且仅当 $ \frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \cdots = \frac{a_n}{b_n} $。
3. 三角不等式（Triangle Inequality）
对于任意实数 $ a $ 和 $ b $，有：
$$
$$
该不等式也适用于向量、复数等。
4. 排序不等式（Rearrangement Inequality）
设 $ a_1 \leq a_2 \leq \cdots \leq a_n $ 和 $ b_1 \leq b_2 \leq \cdots \leq b_n $，则对于任何排列 $ b_{\sigma(1)}, b_{\sigma(2)}, \ldots, b_{\sigma(n)} $，有：
$$
a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n \geq a_1b_{\sigma(1)} + a_2b_{\sigma(2)} + \cdots + a_nb_{\sigma(n)} \geq a_1b_n + a_2b_{n-1} + \cdots + a_nb_1
$$
这些不等式不仅是数学理论的基础，也在物理、工程、经济等领域有着广泛的应用。
二、表格总结
| 序号 | 不等式名称 | 公式表达 | 条件/等号成立条件 | ||||||
| 1 | 均值不等式 | $ \frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab} $ | $ a, b \geq 0 $，等号当 $ a = b $ 时成立 | ||||||
| 2 | 柯西不等式 | $ (a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + \cdots + b_n^2) \geq (a_1b_1 + \cdots + a_nb_n)^2 $ | 等号当 $ \frac{a_1}{b_1} = \cdots = \frac{a_n}{b_n} $ 时成立 | ||||||
| 3 | 三角不等式 | $ | a + b | \leq | a | + | b | $ | 对任意实数 $ a, b $ 成立 |
| 4 | 排序不等式 | $ a_1b_1 + \cdots + a_nb_n \geq a_1b_{\sigma(1)} + \cdots + a_nb_{\sigma(n)} \geq a_1b_n + \cdots + a_nb_1 $ | 当 $ a_i $ 与 $ b_i $ 同序或反序时成立 |
通过以上内容可以看出，这四个基本不等式在数学中的地位非常重要，掌握它们不仅能帮助我们更深入地理解数学规律，还能提高解题效率和逻辑思维能力。
