【等差等比数列求和公式是什么】在数学中，等差数列和等比数列是两种常见的数列类型，它们的求和公式在数列问题中具有重要的应用价值。了解这些公式的推导过程和使用方法，有助于提高解题效率和逻辑思维能力。
一、等差数列求和公式
定义：如果一个数列中，从第二项起，每一项与前一项的差是一个常数，这样的数列称为等差数列。这个常数叫做公差，记作 $ d $。
通项公式：
$$ a_n = a_1 + (n - 1)d $$
求和公式：
$$ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $$
或
$$ S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d] $$
其中，$ S_n $ 表示前 $ n $ 项的和，$ a_1 $ 是首项，$ d $ 是公差。
二、等比数列求和公式
定义：如果一个数列中，从第二项起，每一项与前一项的比是一个常数，这样的数列称为等比数列。这个常数叫做公比，记作 $ r $。
通项公式：
$$ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} $$
求和公式：
当 $ r \neq 1 $ 时，
$$ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $$
或
$$ S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1} $$
当 $ r = 1 $ 时，数列为常数列，此时
$$ S_n = n \cdot a_1 $$
三、总结对比表
| 类型 | 定义说明 | 通项公式 | 求和公式 |
| 等差数列 | 每项与前一项的差为常数 | $ a_n = a_1 + (n - 1)d $ | $ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $ |
| $ S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d] $ | |||
| 等比数列 | 每项与前一项的比为常数 | $ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} $ | $ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $ |
| $ S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1} $ |
四、注意事项
- 在使用等比数列求和公式时，必须注意 $ r \neq 1 $，否则应使用特殊处理。
- 公式中的变量 $ n $ 表示项数，$ a_1 $ 是首项，$ d $ 是公差，$ r $ 是公比。
- 实际应用中，根据题目给出的信息选择合适的公式进行计算。
通过掌握等差数列和等比数列的求和公式，可以更高效地解决相关的数学问题，并为后续学习数列、级数等内容打下坚实的基础。
