【arccosx的导数是什么】在微积分中，反三角函数的导数是常见的求导问题之一。其中，arccosx（即反余弦函数）的导数是一个重要的知识点。掌握其导数公式有助于解决相关数学问题，如求函数的变化率、极值分析等。
一、总结
arccosx 的导数是：
$$
\frac{d}{dx} \arccos x = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}
$$
这个结果可以通过对反函数的求导法则进行推导得出。需要注意的是，该导数的定义域为 $-1 < x < 1$，且导数的结果始终为负数，这与 arccosx 函数在定义域内的单调性一致。
二、导数公式对比表
| 函数名称 | 表达式 | 导数公式 | 定义域 |
| arccosx | $\arccos x$ | $-\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ | $-1 < x < 1$ |
三、导数推导简要说明
设 $ y = \arccos x $，则有 $ x = \cos y $。
对两边关于 $ x $ 求导，得：
$$
1 = -\sin y \cdot \frac{dy}{dx}
$$
解得：
$$
\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sin y}
$$
由于 $ \sin y = \sqrt{1 - \cos^2 y} = \sqrt{1 - x^2} $，因此：
$$
\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}
$$
四、注意事项
- 导数中的负号表示 arccosx 是一个递减函数。
- 在使用该导数时，应确保输入值 $ x $ 在 $(-1, 1)$ 范围内。
- 若涉及复合函数，需结合链式法则进行计算。
通过以上内容，可以清晰地理解 arccosx 的导数及其应用背景。在实际数学运算中，掌握这些基础导数有助于提高解题效率和准确性。
