【导数公式】在微积分中，导数是研究函数变化率的重要工具。掌握常见的导数公式，有助于快速求解各类数学问题，特别是在物理、工程和经济等领域有广泛应用。以下是对常见导数公式的总结，并以表格形式进行展示。
一、基本导数公式
| 函数表达式 | 导数（f’(x)） |
| $ f(x) = C $（C为常数） | $ f'(x) = 0 $ |
| $ f(x) = x^n $（n为实数） | $ f'(x) = nx^{n-1} $ |
| $ f(x) = e^x $ | $ f'(x) = e^x $ |
| $ f(x) = a^x $（a > 0, a ≠ 1） | $ f'(x) = a^x \ln a $ |
| $ f(x) = \ln x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x} $ |
| $ f(x) = \log_a x $（a > 0, a ≠ 1） | $ f'(x) = \frac{1}{x \ln a} $ |
二、三角函数导数
| 函数表达式 | 导数（f’(x)） |
| $ f(x) = \sin x $ | $ f'(x) = \cos x $ |
| $ f(x) = \cos x $ | $ f'(x) = -\sin x $ |
| $ f(x) = \tan x $ | $ f'(x) = \sec^2 x $ |
| $ f(x) = \cot x $ | $ f'(x) = -\csc^2 x $ |
| $ f(x) = \sec x $ | $ f'(x) = \sec x \tan x $ |
| $ f(x) = \csc x $ | $ f'(x) = -\csc x \cot x $ |
三、反三角函数导数
| 函数表达式 | 导数（f’(x)） | ||
| $ f(x) = \arcsin x $ | $ f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ | ||
| $ f(x) = \arccos x $ | $ f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ | ||
| $ f(x) = \arctan x $ | $ f'(x) = \frac{1}{1 + x^2} $ | ||
| $ f(x) = \text{arccot } x $ | $ f'(x) = -\frac{1}{1 + x^2} $ | ||
| $ f(x) = \text{arcsec } x $ | $ f'(x) = \frac{1}{ | x | \sqrt{x^2 - 1}} $ |
| $ f(x) = \text{arccsc } x $ | $ f'(x) = -\frac{1}{ | x | \sqrt{x^2 - 1}} $ |
四、导数运算法则
为了更灵活地应用导数公式，还需掌握一些基本的运算规则：
| 法则名称 | 表达式 |
| 常数倍法则 | $ (cf)' = c f' $ |
| 和差法则 | $ (f \pm g)' = f' \pm g' $ |
| 积法则 | $ (fg)' = f'g + fg' $ |
| 商法则 | $ \left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2} $ |
| 链式法则 | $ (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) $ |
五、小结
导数公式是微积分学习的基础内容之一，熟练掌握这些公式不仅有助于提高计算效率，还能增强对函数性质的理解。通过结合导数运算法则，可以解决更加复杂的求导问题。建议在实际练习中不断巩固这些知识，以便在后续的学习中灵活运用。
