在数学学习中，求导是微积分的重要内容之一，尤其在处理函数的极限、变化率以及图像分析时具有广泛的应用。今天我们将重点探讨一个常见的函数形式——y = x·sinx，并详细解析它的求导过程。
一、函数结构分析
函数 y = x·sinx 是由两个基本函数相乘得到的，分别是：
- 一个线性函数：x
- 一个三角函数：sinx
由于该函数是两个函数的乘积，因此我们不能直接使用简单的求导法则（如幂函数或三角函数的导数公式），而需要应用乘积法则来进行求导。
二、乘积法则简介
对于两个可导函数 u(x) 和 v(x) 的乘积，其导数为：
$$
(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'
$$
也就是说，乘积的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数。
三、对 y = x·sinx 进行求导
令：
- $ u(x) = x $
- $ v(x) = \sin x $
根据乘积法则：
$$
\frac{d}{dx}(x \cdot \sin x) = \frac{d}{dx}(x) \cdot \sin x + x \cdot \frac{d}{dx}(\sin x)
$$
分别计算各部分的导数：
- $ \frac{d}{dx}(x) = 1 $
- $ \frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x $
代入得：
$$
\frac{dy}{dx} = 1 \cdot \sin x + x \cdot \cos x
$$
即：
$$
\frac{dy}{dx} = \sin x + x \cos x
$$
四、结果解释与意义
最终的导数表达式为：
$$
\frac{dy}{dx} = \sin x + x \cos x
$$
这个结果表示的是函数 y = x·sinx 在任意一点 x 处的瞬时变化率。它结合了线性项和三角函数的变化趋势，能够帮助我们在实际问题中分析函数的增长、极值、凹凸性等性质。
五、应用场景举例
1. 物理运动分析：当物体的位移随时间变化的函数为 x·sinx 时，导数可以表示速度。
2. 工程设计：在振动系统或波动模型中，此类函数常用于描述周期性变化的信号。
3. 经济模型：某些市场行为可能呈现出类似 x·sinx 的增长与波动特性。
六、总结
通过应用乘积法则，我们成功地对 y = x·sinx 进行了求导，得出其导数为：
$$
\frac{dy}{dx} = \sin x + x \cos x
$$
这一过程不仅加深了对导数运算的理解，也为后续更复杂的函数求导打下了坚实的基础。掌握这类基础运算能力，有助于解决更多实际问题，提升数学建模与分析的能力。
