【二项分布公式】在概率论与统计学中，二项分布是一种常见的离散概率分布，用于描述在 n 次独立的伯努利试验 中，成功次数为 k 的概率。每一次试验只有两种可能的结果：成功或失败，且每次成功的概率是固定的。
一、二项分布的基本概念
- 伯努利试验：每次试验只有两个可能的结果（如“成功”或“失败”）。
- 独立性：各次试验之间互不影响。
- 固定概率：每次试验成功的概率为 p，失败的概率为 1 - p。
二、二项分布公式
设随机变量 X 表示在 n 次独立试验中成功出现的次数，则 X 服从参数为 n 和 p 的二项分布，记作：
$$
X \sim B(n, p)
$$
其概率质量函数为：
$$
P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k}
$$
其中：
- $ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n - k)!} $ 是组合数，表示从 n 次试验中选出 k 次成功的组合方式数；
- $ p $ 是单次试验成功的概率；
- $ 1 - p $ 是单次试验失败的概率；
- $ k $ 是成功次数，取值范围为 $ 0 \leq k \leq n $。
三、二项分布的性质
| 属性 | 公式/说明 |
| 数学期望 | $ E(X) = np $ |
| 方差 | $ Var(X) = np(1 - p) $ |
| 标准差 | $ \sigma = \sqrt{np(1 - p)} $ |
| 概率质量函数 | $ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k} $ |
四、二项分布的应用场景
- 投掷硬币，计算正面朝上的次数；
- 质量检测中，检查产品合格的数量；
- 在医学研究中，评估某种药物的成功率；
- 网络流量分析，预测一定时间内请求的成功次数等。
五、二项分布与正态分布的关系
当 n 较大 且 p 不接近 0 或 1 时，二项分布可以近似为 正态分布，即：
$$
X \sim N(np, np(1 - p))
$$
这种近似常用于简化计算和数据分析。
六、总结
二项分布是描述 多次独立伯努利试验中成功次数 的重要工具，广泛应用于自然科学、工程、金融等多个领域。掌握其公式和性质，有助于更好地理解和应用概率模型。
| 关键点 | 内容 |
| 定义 | 描述 n 次独立伯努利试验中成功次数的概率分布 |
| 公式 | $ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k} $ |
| 期望 | $ np $ |
| 方差 | $ np(1 - p) $ |
| 应用 | 风险评估、质量控制、实验设计等 |
通过理解并运用二项分布公式，我们可以更准确地预测和分析现实世界中的随机事件。
