【点到面距离的公式】在三维几何中，点到平面的距离是一个常见的计算问题，广泛应用于数学、物理、工程等领域。理解并掌握点到面距离的公式对于解决相关问题具有重要意义。以下是对该公式的总结与分析。
一、点到面距离的定义
设有一个平面 π，其方程为：
$$ Ax + By + Cz + D = 0 $$
以及一个不在该平面上的点 $ P(x_0, y_0, z_0) $，则点 $ P $ 到平面 π 的距离 $ d $ 可以通过以下公式计算：
$$
d = \frac{
$$
其中：
- $ A, B, C $ 是平面法向量的分量；
- $ D $ 是平面方程中的常数项；
- 分子部分是点代入平面方程后的绝对值；
- 分母是法向量的模长，用于归一化距离。
二、公式推导思路（简要）
1. 法向量方向：平面的法向量 $ \vec{n} = (A, B, C) $ 垂直于平面。
2. 投影思想：将点 $ P $ 向平面做垂线，该垂线段的长度即为点到平面的距离。
3. 向量运算：利用点 $ P $ 与平面上任意一点 $ Q $ 构成的向量 $ \vec{PQ} $，与法向量 $ \vec{n} $ 的点积，再除以法向量的模长，得到距离。
三、使用示例
| 平面方程 | 点坐标 | 计算过程 | 距离 | ||||
| $ x + 2y - 3z + 4 = 0 $ | $ (1, 1, 1) $ | $ | 1 + 2×1 - 3×1 + 4 | / \sqrt{1^2 + 2^2 + (-3)^2} = | 4 | / \sqrt{14} $ | $ \frac{4}{\sqrt{14}} $ |
| $ 2x - y + z - 5 = 0 $ | $ (0, 0, 0) $ | $ | 2×0 - 0 + 0 - 5 | / \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = | -5 | / \sqrt{6} $ | $ \frac{5}{\sqrt{6}} $ |
| $ -x + 3y + 4z + 2 = 0 $ | $ (2, -1, 0) $ | $ | -2 + 3×(-1) + 4×0 + 2 | / \sqrt{(-1)^2 + 3^2 + 4^2} = | -3 | / \sqrt{26} $ | $ \frac{3}{\sqrt{26}} $ |
四、注意事项
1. 符号处理：公式中使用了绝对值，因此结果总是非负的。
2. 点在平面上的情况：如果点恰好在平面上，则分子为0，距离为0。
3. 法向量方向：公式不依赖于法向量的方向，因为分母是模长，而分子是绝对值。
4. 适用范围：该公式适用于任何标准形式的平面方程，如 $ Ax + By + Cz + D = 0 $。
五、总结
点到面距离的公式是解析几何中的重要工具，能够快速计算点与平面之间的最短距离。通过理解其几何意义和数学推导，可以更好地应用在实际问题中。无论是学习还是实践，掌握这一公式都是必要的基础内容。
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