对于一个服从两点分布的随机变量 \( X \)，其概率质量函数可以表示为：

\[

P(X = 1) = p, \quad P(X = 0) = 1 - p

\]

其中，\( p \) 是事件成功的概率，\( 0 \leq p \leq 1 \)。

接下来，我们来推导两点分布的期望和方差公式。

期望的计算

根据期望的定义，对于离散型随机变量 \( X \)，其期望 \( E(X) \) 可以通过以下公式计算：

\[

E(X) = \sum_{x} x \cdot P(X = x)

\]

代入两点分布的概率质量函数：

\[

E(X) = 0 \cdot (1 - p) + 1 \cdot p = p

\]

因此，两点分布的期望为：

\[

E(X) = p

\]

方差的计算

方差 \( Var(X) \) 的定义是随机变量 \( X \) 的平方的期望减去 \( X \) 的期望的平方：

\[

Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2

\]

首先计算 \( E(X^2) \)：

\[

E(X^2) = \sum_{x} x^2 \cdot P(X = x)

\]

代入两点分布的概率质量函数：

\[

E(X^2) = 0^2 \cdot (1 - p) + 1^2 \cdot p = p

\]

接着代入方差公式：

\[

Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = p - p^2 = p(1 - p)

\]

因此，两点分布的方差为：

\[

Var(X) = p(1 - p)

\]

总结

综上所述，两点分布的期望和方差分别为：

\[

E(X) = p, \quad Var(X) = p(1 - p)

\]

这两个公式在实际应用中非常重要，尤其是在数据分析和机器学习领域，它们为我们提供了关于二元事件的基本统计特性。