在数学领域中，当我们处理两个等比数列时，如果需要计算它们逐项相乘后所得新序列的前N项和，这个问题便显得尤为有趣且具有一定的挑战性。首先，我们来明确一下背景知识。

等比数列是指一个数列中的每一项与它的前一项之比恒等于同一个常数q（即公比）。对于这样的数列，其通项公式为an = a1 q^(n-1)，其中a1是首项，n是项数。当我们要研究两个等比数列相乘得到的新序列时，可以将这两个数列分别记作{an}和{bn}，则新序列{cn}可表示为cn = an bn。

为了求出新序列{cn}的前N项和Sn，即Sn = c1 + c2 + ... + cn，我们需要先确定新序列的具体形式。假设第一个等比数列{an}的首项为A，公比为P；第二个等比数列{bn}的首项为B，公比为Q。那么，新序列{cn}的第n项可以写成：

cn = A P^(n-1) B Q^(n-1)

= (AB) (PQ)^(n-1)

这表明新序列也是一个等比数列，其首项为C=AB，公比为R=PQ。因此，我们可以利用等比数列求和公式来计算前N项和：

Sn = C (1 - R^N) / (1 - R), 如果R ≠ 1

= NC, 如果R = 1

这里需要注意的是，只有当R不等于1时，上述公式才成立；否则，如果R等于1，则意味着所有项都相同，此时只需简单地将首项C乘以N即可得到总和。

通过这种方法，我们可以有效地解决两个等比数列相乘后的前N项和问题。这种方法不仅逻辑清晰，而且操作简便，在实际应用中能够帮助我们快速得出结果。