【积分公式】在数学中，积分是微积分的重要组成部分，用于计算面积、体积、长度等几何量，同时也广泛应用于物理、工程、经济学等领域。积分分为不定积分和定积分两种形式，分别用于求解原函数和计算特定区间内的累积值。
以下是对常见积分公式的总结，便于学习与查阅。
一、基本积分公式
| 函数 | 不定积分 | 定积分（从a到b） | ||||||
| $ x^n $ | $ \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $（$ n \neq -1 $） | $ \frac{b^{n+1} - a^{n+1}}{n+1} $ | ||||||
| $ e^x $ | $ e^x + C $ | $ e^b - e^a $ | ||||||
| $ \ln x $ | $ x\ln x - x + C $ | $ b\ln b - b - (a\ln a - a) $ | ||||||
| $ \sin x $ | $ -\cos x + C $ | $ -\cos b + \cos a $ | ||||||
| $ \cos x $ | $ \sin x + C $ | $ \sin b - \sin a $ | ||||||
| $ \sec^2 x $ | $ \tan x + C $ | $ \tan b - \tan a $ | ||||||
| $ \csc^2 x $ | $ -\cot x + C $ | $ -\cot b + \cot a $ | ||||||
| $ \frac{1}{x} $ | $ \ln | x | + C $ | $ \ln | b | - \ln | a | $ |
二、特殊函数的积分公式
| 函数 | 不定积分 | 定积分（从a到b） | ||||||
| $ \frac{1}{x^2 + a^2} $ | $ \frac{1}{a}\arctan\left(\frac{x}{a}\right) + C $ | $ \frac{1}{a}\left[\arctan\left(\frac{b}{a}\right) - \arctan\left(\frac{a}{a}\right)\right] $ | ||||||
| $ \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} $ | $ \arcsin\left(\frac{x}{a}\right) + C $ | $ \arcsin\left(\frac{b}{a}\right) - \arcsin\left(\frac{a}{a}\right) $ | ||||||
| $ \frac{1}{x^2 - a^2} $ | $ \frac{1}{2a}\ln\left | \frac{x-a}{x+a}\right | + C $ | $ \frac{1}{2a}\left[\ln\left | \frac{b-a}{b+a}\right | - \ln\left | \frac{a-a}{a+a}\right | \right] $ |
| $ \frac{1}{\sqrt{x^2 + a^2}} $ | $ \sinh^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) + C $ | $ \sinh^{-1}\left(\frac{b}{a}\right) - \sinh^{-1}\left(\frac{a}{a}\right) $ |
三、积分技巧补充
1. 换元法：通过变量替换简化积分形式。
2. 分部积分法：适用于乘积函数的积分，公式为：
$$
\int u \, dv = uv - \int v \, du
$$
3. 三角代换：如 $ x = a\sin\theta $、$ x = a\tan\theta $ 等，用于处理根号下的多项式。
4. 部分分式分解：用于有理函数的积分。
四、小结
积分公式是解决实际问题的重要工具，掌握常见的积分形式及其应用方法，有助于提高数学分析能力。在实际应用中，常常需要结合多种积分技巧来完成复杂的计算任务。建议在学习过程中多做练习题，以加深对积分的理解和运用能力。
