【什么矩阵是正定矩阵】在数学，尤其是线性代数中，正定矩阵是一个非常重要的概念，广泛应用于优化、统计学、物理学和工程学等领域。理解正定矩阵的定义及其性质，有助于更好地掌握矩阵分析的相关知识。
一、正定矩阵的定义
一个 n×n 的实对称矩阵 A 被称为 正定矩阵，如果对于所有非零向量 x ∈ ℝⁿ，都有：
$$
x^T A x > 0
$$
换句话说，正定矩阵在所有非零向量上的二次型结果都是正数。
二、正定矩阵的判定条件
判断一个矩阵是否为正定矩阵，可以通过以下几种方法：
| 判定条件 | 说明 |
| 特征值全为正 | 矩阵的所有特征值都大于 0 |
| 主子式全为正 | 所有顺序主子式（即前 k 行和前 k 列组成的子矩阵的行列式）都大于 0 |
| 存在可逆矩阵 C，使得 A = C^T C | 可以表示为某个矩阵与其转置的乘积 |
| 二次型恒为正 | 对于任意非零向量 x，x^T A x > 0 |
三、正定矩阵的性质
| 性质 | 说明 |
| 对称性 | 正定矩阵一定是实对称矩阵 |
| 可逆性 | 正定矩阵一定是可逆的，且其逆矩阵也是正定的 |
| 特征值 | 所有特征值均为正实数 |
| 分解性 | 可以进行 Cholesky 分解，即 A = L L^T，其中 L 是下三角矩阵 |
| 正定性保持 | 如果 A 和 B 都是正定矩阵，则 A + B 也是正定矩阵 |
四、举例说明
- 正定矩阵示例：
$$
A = \begin{bmatrix}
2 & 1 \\
1 & 2
\end{bmatrix}
$$
其特征值为 3 和 1，均大于 0，因此是正定矩阵。
- 非正定矩阵示例：
$$
B = \begin{bmatrix}
-1 & 0 \\
0 & 1
\end{bmatrix}
$$
其特征值为 -1 和 1，由于存在负特征值，不是正定矩阵。
五、总结
正定矩阵是一种特殊的对称矩阵，具有良好的数学性质和实际应用价值。判断一个矩阵是否为正定矩阵，可以通过其特征值、主子式、二次型等方法进行验证。掌握正定矩阵的概念与性质，有助于在多个学科领域中更深入地理解和应用矩阵理论。
