【xsinx是奇函数还是偶函数】在数学中，函数的奇偶性是一个重要的性质，用于判断函数图像关于原点或y轴对称的情况。常见的奇函数和偶函数有：正弦函数、余弦函数、多项式函数等。那么，对于函数 $ f(x) = x \sin x $，它是奇函数还是偶函数呢？下面我们通过分析来得出结论。
一、奇函数与偶函数的定义
- 偶函数：如果对所有定义域内的 $ x $，都有 $ f(-x) = f(x) $，则称该函数为偶函数，其图像关于 y轴对称。
- 奇函数：如果对所有定义域内的 $ x $，都有 $ f(-x) = -f(x) $，则称该函数为奇函数，其图像关于 原点对称。
二、函数 $ f(x) = x \sin x $ 的奇偶性分析
我们来计算 $ f(-x) $：
$$
f(-x) = (-x) \cdot \sin(-x)
$$
根据三角函数的性质，$ \sin(-x) = -\sin x $，所以：
$$
f(-x) = (-x) \cdot (-\sin x) = x \sin x = f(x)
$$
因此，$ f(-x) = f(x) $，说明该函数满足偶函数的定义。
但这里需要注意的是，虽然 $ f(-x) = f(x) $，但我们再进一步验证是否为奇函数：
$$
-f(x) = -x \sin x
$$
显然，$ f(-x) \neq -f(x) $，因此它不满足奇函数的条件。
三、总结
通过对函数 $ f(x) = x \sin x $ 的分析可以得出以下结论：
| 函数表达式 | 奇函数 | 偶函数 | 说明 |
| $ f(x) = x \sin x $ | ❌ | ✅ | 满足 $ f(-x) = f(x) $，是偶函数 |
四、结论
函数 $ x \sin x $ 是一个偶函数。它的图像关于 y轴对称，而不是原点对称。这一结论可以通过代数推导和三角恒等式直接验证，无需复杂的图形分析。
