【泰勒展开式常用10个公式】泰勒展开式是数学分析中非常重要的工具，广泛应用于物理、工程、计算机科学等领域。它通过将一个函数在某一点附近用无限多项的多项式来逼近原函数，从而简化复杂函数的计算与分析。以下是对常用的10个泰勒展开式的总结，帮助读者快速掌握其形式和应用场景。
一、泰勒展开式简介
泰勒展开式的基本形式为：
$$
f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + \cdots
$$
当 $ a = 0 $ 时，称为麦克劳林展开式。下面列出的是在 $ x = 0 $ 处的常见函数的泰勒展开式（即麦克劳林级数）。
二、常用10个泰勒展开式
| 序号 | 函数名称 | 泰勒展开式（x=0处） | 收敛区间 | ||
| 1 | $ e^x $ | $ 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots $ | $ (-\infty, +\infty) $ | ||
| 2 | $ \sin x $ | $ x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots $ | $ (-\infty, +\infty) $ | ||
| 3 | $ \cos x $ | $ 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots $ | $ (-\infty, +\infty) $ | ||
| 4 | $ \ln(1+x) $ | $ x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots $ | $ -1 < x \leq 1 $ | ||
| 5 | $ \arctan x $ | $ x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots $ | $ -1 \leq x \leq 1 $ | ||
| 6 | $ \arcsin x $ | $ x + \frac{1}{2}\cdot\frac{x^3}{3} + \frac{1\cdot3}{2\cdot4}\cdot\frac{x^5}{5} + \cdots $ | $ -1 \leq x \leq 1 $ | ||
| 7 | $ \sinh x $ | $ x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots $ | $ (-\infty, +\infty) $ | ||
| 8 | $ \cosh x $ | $ 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots $ | $ (-\infty, +\infty) $ | ||
| 9 | $ (1+x)^k $ | $ 1 + kx + \frac{k(k-1)}{2!}x^2 + \frac{k(k-1)(k-2)}{3!}x^3 + \cdots $ | $ | x | < 1 $ |
| 10 | $ \frac{1}{1-x} $ | $ 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots $ | $ | x | < 1 $ |
三、应用说明
1. 近似计算：在数值计算中，可以用泰勒展开式对复杂函数进行近似，例如用 $ \sin x \approx x - \frac{x^3}{6} $ 来估算小角度的正弦值。
2. 微分方程求解：泰勒展开常用于求解微分方程的解析解或数值解。
3. 信号处理：在傅里叶分析和信号处理中，泰勒展开有助于理解函数的局部行为。
4. 优化算法：在最优化问题中，泰勒展开可以用于构造梯度、海森矩阵等信息。
四、注意事项
- 泰勒展开的有效性取决于函数在该点的可导性和收敛性。
- 对于某些函数，如 $ \ln(1+x) $ 和 $ \arctan x $，展开式只在有限区间内成立。
- 展开式的精度随着项数的增加而提高，但实际使用中需根据需求选择适当阶数。
通过掌握这些常用的泰勒展开式，可以在多个领域中更高效地进行数学建模与计算。希望本文能为学习者提供清晰的参考和实用的帮助。
