【求极限lim的常用公式是什么】在高等数学中，求极限是微积分的基础内容之一，掌握一些常用的极限公式对于解题非常有帮助。本文将总结常见的极限公式，并通过表格形式进行归纳整理，便于读者理解和记忆。
一、常见极限公式总结
以下是一些在求极限过程中经常用到的公式和结论：
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 |
| 常数极限 | $\lim_{x \to a} C = C$ | $C$ 为常数 |
| 极限的四则运算 | $\lim_{x \to a} [f(x) \pm g(x)] = \lim f(x) \pm \lim g(x)$ $\lim_{x \to a} [f(x) \cdot g(x)] = \lim f(x) \cdot \lim g(x)$ $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim f(x)}{\lim g(x)}$（若分母不为0） | 适用于连续函数或可拆分的极限 |
| 无穷小与无穷大的关系 | 若 $\lim f(x) = 0$, $\lim g(x) = \infty$，则 $\lim f(x) \cdot g(x)$ 为不定型 若 $\lim f(x) = 0$, $\lim g(x) = 0$，则 $\lim \frac{f(x)}{g(x)}$ 为不定型 | 需进一步分析或使用洛必达法则等方法 |
| 重要极限1 | $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ | 常用于三角函数极限计算 |
| 重要极限2 | $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$ | 指数函数相关极限 |
| 重要极限3 | $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1$ | 对数函数相关极限 |
| 重要极限4 | $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e$ | 自然对数底数 $e$ 的定义 |
| 无穷小量比较 | 若 $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = 0$，则 $f(x)$ 是比 $g(x)$ 更高阶的无穷小 | 用于判断无穷小的“大小”关系 |
| 等价无穷小替换 | 当 $x \to 0$ 时： $\sin x \sim x$ $\tan x \sim x$ $\ln(1+x) \sim x$ $e^x - 1 \sim x$ $1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2}$ | 可简化极限计算 |
二、注意事项
1. 极限存在性：并不是所有函数都有极限，如 $\lim_{x \to 0} \sin\left(\frac{1}{x}\right)$ 不存在。
2. 不定型处理：如 $0/0$、$\infty/\infty$、$\infty - \infty$ 等，需通过洛必达法则、泰勒展开、等价无穷小替换等方式处理。
3. 左右极限：某些函数在某点左右极限不同，因此极限不存在，例如 $f(x) = \frac{1}{x}$ 在 $x \to 0$ 处。
三、结语
掌握这些常用的极限公式，有助于快速解决各类极限问题。在实际应用中，应结合题目类型灵活选择合适的方法，同时注意极限存在的条件和不定型的处理技巧。通过不断练习，可以提高对极限问题的理解和解题能力。
