【三角函数变换公式有哪些】在数学中，三角函数是研究三角形边角关系的重要工具，广泛应用于物理、工程、计算机图形学等领域。为了方便计算和简化表达式，人们总结了许多三角函数的变换公式。以下是对常见三角函数变换公式的总结。
一、基本恒等式
| 公式 | 说明 |
| $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ | 基本恒等式 |
| $1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta$ | 与正切和余割相关 |
| $1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta$ | 与余切和正割相关 |
二、诱导公式（角度转换）
| 角度变换 | 公式 |
| $\sin(-\theta) = -\sin\theta$ | 奇函数性质 |
| $\cos(-\theta) = \cos\theta$ | 偶函数性质 |
| $\sin(\pi - \theta) = \sin\theta$ | 对称于π/2 |
| $\cos(\pi - \theta) = -\cos\theta$ | 对称于π/2 |
| $\sin(\pi + \theta) = -\sin\theta$ | 对称于π |
| $\cos(\pi + \theta) = -\cos\theta$ | 对称于π |
三、和差角公式
| 公式 | 说明 |
| $\sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B$ | 正弦的和差公式 |
| $\cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B$ | 余弦的和差公式 |
| $\tan(A \pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B}$ | 正切的和差公式 |
四、倍角公式
| 公式 | 说明 |
| $\sin 2\theta = 2\sin\theta \cos\theta$ | 两倍角的正弦 |
| $\cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta = 2\cos^2\theta - 1 = 1 - 2\sin^2\theta$ | 两倍角的余弦 |
| $\tan 2\theta = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta}$ | 两倍角的正切 |
五、半角公式
| 公式 | 说明 |
| $\sin\frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{2}}$ | 半角的正弦 |
| $\cos\frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}}$ | 半角的余弦 |
| $\tan\frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{1 + \cos\theta}} = \frac{\sin\theta}{1 + \cos\theta}$ | 半角的正切 |
六、积化和差公式
| 公式 | 说明 |
| $\sin A \cos B = \frac{1}{2}[\sin(A+B) + \sin(A-B)]$ | 正弦与余弦的乘积 |
| $\cos A \cos B = \frac{1}{2}[\cos(A+B) + \cos(A-B)]$ | 余弦与余弦的乘积 |
| $\sin A \sin B = \frac{1}{2}[\cos(A-B) - \cos(A+B)]$ | 正弦与正弦的乘积 |
七、和差化积公式
| 公式 | 说明 |
| $\sin A + \sin B = 2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right)$ | 正弦的和转化为积 |
| $\sin A - \sin B = 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right)$ | 正弦的差转化为积 |
| $\cos A + \cos B = 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right)$ | 余弦的和转化为积 |
| $\cos A - \cos B = -2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right)$ | 余弦的差转化为积 |
总结
三角函数变换公式是解决三角问题的重要工具，涵盖了从基本恒等到复杂的积化和差、和差化积等多种形式。掌握这些公式不仅可以提高解题效率，还能帮助理解三角函数的对称性和周期性。建议结合具体题目进行练习，以加深理解和记忆。
