在概率论与数理统计领域中，正态分布（也称为高斯分布）是一种非常重要的连续概率分布。它广泛应用于自然和社会科学中，用于描述许多随机现象。正态分布的概率密度函数和分布函数是研究其性质的关键工具。

正态分布的概率密度函数（PDF）通常表示为：

\[ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \]

其中，\( \mu \) 是均值，\( \sigma \) 是标准差，\( x \) 是随机变量。

而正态分布的分布函数（CDF），即累积分布函数（Cumulative Distribution Function, CDF），用来表示随机变量 \( X \) 小于或等于某个特定值 \( x \) 的概率。CDF 表达式如下：

\[ F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) dt = \frac{1}{2} \left[ 1 + \operatorname{erf}\left( \frac{x-\mu}{\sigma\sqrt{2}} \right) \right] \]

这里，\( \operatorname{erf} \) 是误差函数（Error Function），定义为：

\[ \operatorname{erf}(z) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_{0}^{z} e^{-t^2} dt \]

误差函数无法通过初等函数表达，因此通常需要查表或者使用数值方法来计算。然而，在实际应用中，人们更倾向于使用标准化正态分布表，即将一般正态分布转化为标准正态分布（均值为0，标准差为1）后再查找对应的概率值。

标准正态分布的CDF记作 \( \Phi(z) \)，可以通过查表得到 \( z \) 对应的累积概率值。对于非标准正态分布的情况，可以利用线性变换将其转换为标准形式后求解。

正态分布的分布函数具有以下重要特性：

1. 非负性： \( F(x) \geq 0 \)；

2. 单调不减：如果 \( x_1 < x_2 \)，则 \( F(x_1) \leq F(x_2) \)；

3. 极限值：当 \( x \to -\infty \)，\( F(x) \to 0 \); 当 \( x \to +\infty \)，\( F(x) \to 1 \)。

这些特性使得正态分布成为处理大量数据的理想模型，并且在假设检验、置信区间估计等领域发挥着重要作用。此外，中心极限定理进一步强调了正态分布在大样本统计中的核心地位，因为它表明无论原始数据的分布如何，在适当条件下，其样本均值将趋于正态分布。

总之，正态分布的分布函数公式不仅是理论研究的基础，也是实际数据分析的重要手段之一。通过对这一公式的深入理解和灵活运用，我们可以更好地把握随机事件的本质规律，从而做出更加准确可靠的预测和决策。