【概率论公式总结大全】概率论是研究随机现象及其规律的一门数学分支，广泛应用于统计学、计算机科学、金融、工程等领域。为了帮助学习者更好地掌握概率论的核心概念和公式，本文对常见的概率论公式进行了系统性总结，并以文字加表格的形式呈现，便于查阅与记忆。
一、基本概念
1. 样本空间（Sample Space）：所有可能结果的集合，记为 $ S $。
2. 事件（Event）：样本空间的一个子集，表示某个特定的结果或结果组合。
3. 概率（Probability）：事件发生的可能性大小，记为 $ P(A) $，其中 $ 0 \leq P(A) \leq 1 $。
二、概率的基本性质
| 公式 | 说明 |
| $ P(S) = 1 $ | 样本空间的概率为1 |
| $ P(\emptyset) = 0 $ | 空集的概率为0 |
| $ 0 \leq P(A) \leq 1 $ | 任意事件的概率在0到1之间 |
| $ P(A^c) = 1 - P(A) $ | 事件A的补集的概率等于1减去A的概率 |
三、概率的加法公式
| 公式 | 说明 |
| $ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) $ | 两个事件并的概率计算公式 |
| 若 $ A $ 与 $ B $ 互斥，则 $ P(A \cup B) = P(A) + P(B) $ | 互斥事件的并的概率等于各自概率之和 |
四、条件概率与独立事件
| 公式 | 说明 | |
| $ P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} $, $ P(B) > 0 $ | 条件概率公式 |
| 若 $ A $ 与 $ B $ 独立，则 $ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) $ | 独立事件的交的概率等于各自概率的乘积 |
五、全概率公式与贝叶斯公式
| 公式 | 说明 | |||
| $ P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(A | B_i)P(B_i) $ | 全概率公式（当 $ B_1, B_2, ..., B_n $ 是一个划分） | ||
| $ P(B_i | A) = \frac{P(A | B_i)P(B_i)}{\sum_{j=1}^{n} P(A | B_j)P(B_j)} $ | 贝叶斯公式（用于更新后验概率） |
六、随机变量与分布函数
| 公式 | 说明 |
| 分布函数 $ F(x) = P(X \leq x) $ | 随机变量X的累积分布函数 |
| 概率质量函数（离散型）：$ P(X = x) $ | 表示离散型随机变量取某值的概率 |
| 概率密度函数（连续型）：$ f(x) $ | 表示连续型随机变量的概率密度 |
七、期望与方差
| 公式 | 说明 |
| 数学期望 $ E[X] = \sum_{x} x \cdot P(X = x) $ （离散型） $ E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) dx $ （连续型） | 随机变量的期望值 |
| 方差 $ Var(X) = E[(X - E[X])^2] = E[X^2] - (E[X])^2 $ | 衡量随机变量偏离均值的程度 |
八、常见概率分布
| 分布类型 | 参数 | 概率质量函数/密度函数 | 期望 | 方差 |
| 二项分布 | $ n, p $ | $ P(X = k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k} $ | $ np $ | $ np(1-p) $ |
| 泊松分布 | $ \lambda $ | $ P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!} $ | $ \lambda $ | $ \lambda $ |
| 正态分布 | $ \mu, \sigma^2 $ | $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} $ | $ \mu $ | $ \sigma^2 $ |
| 均匀分布 | $ a, b $ | $ f(x) = \frac{1}{b-a} $, $ a \leq x \leq b $ | $ \frac{a+b}{2} $ | $ \frac{(b-a)^2}{12} $ |
九、协方差与相关系数
| 公式 | 说明 |
| 协方差 $ Cov(X,Y) = E[(X - E[X])(Y - E[Y])] $ | 衡量两个随机变量之间的线性关系 |
| 相关系数 $ \rho_{XY} = \frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{Var(X) Var(Y)}} $ | 取值范围为 [-1, 1]，衡量相关性强弱 |
十、大数定律与中心极限定理
| 定理名称 | 内容 |
| 大数定律 | 当试验次数趋于无穷时，样本均值依概率收敛于总体期望 |
| 中心极限定理 | 当样本容量足够大时，样本均值近似服从正态分布，无论总体分布如何 |
结语
概率论作为数学的重要分支，其核心在于理解和应用各种概率模型与公式。通过对上述公式的系统整理，可以帮助我们更清晰地掌握概率论的基础知识，提高解决实际问题的能力。希望本文能够成为学习概率论的实用参考资料。
注：本文内容基于经典概率论理论整理，适用于大学本科阶段的概率论课程复习与参考。
