【伴随矩阵具体求法介绍】在矩阵理论中，伴随矩阵（Adjugate Matrix）是一个重要的概念，尤其在求解逆矩阵时具有关键作用。伴随矩阵是将原矩阵的每个元素替换为其对应的代数余子式后，再进行转置所得到的矩阵。本文将系统地介绍伴随矩阵的具体求法，并通过表格形式清晰展示每一步的操作。

一、伴随矩阵的定义

设 $ A = [a_{ij}] $ 是一个 $ n \times n $ 的方阵，则其伴随矩阵 $ \text{adj}(A) $ 是由 $ A $ 的代数余子式组成的矩阵的转置，即：

$$

\text{adj}(A) = [C_{ij}]^T

$$

其中，$ C_{ij} $ 是 $ a_{ij} $ 的代数余子式，定义为：

$$

C_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot M_{ij}

$$

其中 $ M_{ij} $ 是去掉第 $ i $ 行第 $ j $ 列后的子矩阵的行列式。

二、伴随矩阵的求法步骤

以下是求伴随矩阵的具体步骤，适用于任意 $ n \times n $ 矩阵：

三、示例：3×3 矩阵的伴随矩阵求法

以矩阵 $ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix} $ 为例，求其伴随矩阵。

1. 计算每个元素的代数余子式

- $ C_{11} = +\begin{vmatrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{vmatrix} = 5 \cdot 9 - 6 \cdot 8 = 45 - 48 = -3 $

- $ C_{12} = -\begin{vmatrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{vmatrix} = -(4 \cdot 9 - 6 \cdot 7) = -(36 - 42) = 6 $

- $ C_{13} = +\begin{vmatrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{vmatrix} = 4 \cdot 8 - 5 \cdot 7 = 32 - 35 = -3 $

- $ C_{21} = -\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 8 & 9 \end{vmatrix} = -(2 \cdot 9 - 3 \cdot 8) = -(18 - 24) = 6 $

- $ C_{22} = +\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 7 & 9 \end{vmatrix} = 1 \cdot 9 - 3 \cdot 7 = 9 - 21 = -12 $

- $ C_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 7 & 8 \end{vmatrix} = -(1 \cdot 8 - 2 \cdot 7) = -(8 - 14) = 6 $

- $ C_{31} = +\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 5 & 6 \end{vmatrix} = 2 \cdot 6 - 3 \cdot 5 = 12 - 15 = -3 $

- $ C_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 4 & 6 \end{vmatrix} = -(1 \cdot 6 - 3 \cdot 4) = -(6 - 12) = 6 $

- $ C_{33} = +\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{vmatrix} = 1 \cdot 5 - 2 \cdot 4 = 5 - 8 = -3 $

2. 构造代数余子式矩阵

$$

C = \begin{bmatrix}

-3 & 6 & -3 \\

6 & -12 & 6 \\

-3 & 6 & -3

\end{bmatrix}

$$

3. 转置得到伴随矩阵

$$

\text{adj}(A) = C^T = \begin{bmatrix}

-3 & 6 & -3 \\

6 & -12 & 6 \\

-3 & 6 & -3

\end{bmatrix}

$$

四、总结

通过上述方法，可以系统地计算任意 $ n \times n $ 矩阵的伴随矩阵。掌握这一过程有助于深入理解矩阵运算及其应用。