在数学分析中，泰勒展开是一种非常重要的工具，它将一个函数表示为无穷级数的形式，通常用于近似计算和理论研究。泰勒展开的核心思想是用多项式来逼近复杂的函数，这种方法不仅在纯数学中有广泛应用，在物理学、工程学等领域也具有重要意义。

首先，我们来看一些常见的泰勒展开式。最基础也是最常见的就是指数函数 \( e^x \) 的展开式：

\[ e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots \]

这个展开式的收敛范围是整个实数域，因此无论 \( x \) 取何值，该级数都能准确表示 \( e^x \)。

接下来是正弦函数 \( \sin(x) \) 和余弦函数 \( \cos(x) \) 的泰勒展开式：

\[ \sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots \]

\[ \cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots \]

这两个展开式在 \( x \) 的任何有限范围内都有效，并且它们之间存在密切的关系，即 \( \sin(x) \) 是 \( \cos(x) \) 的导数，反之亦然。

对于对数函数 \( \ln(1+x) \)，当 \( |x| < 1 \) 时，其泰勒展开式为：

\[ \ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots \]

此外，自然对数的底数 \( e \) 的倒数 \( \frac{1}{1-x} \) 在 \( |x| < 1 \) 时也有简单的泰勒展开形式：

\[ \frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots \]

这些基本的泰勒展开式为我们提供了强大的工具来处理各种数学问题。通过合理选择展开点和项数，我们可以有效地简化复杂函数的计算过程，同时保证足够的精度。

总之，掌握这些常见的泰勒展开式对于深入理解高等数学以及解决实际问题至关重要。希望本文能帮助读者更好地理解和应用这一强大的数学方法。