【如何求直线与平面所成的角】在立体几何中，直线与平面所成的角是一个重要的概念，常用于解决空间几何问题。该角的大小反映了直线与平面之间的倾斜程度，是研究空间关系的重要工具。本文将总结如何求解直线与平面所成的角，并通过表格形式清晰展示关键步骤和公式。

一、基本概念

- 直线与平面所成的角：是指从直线上一点向平面作垂线，该点与垂足之间的连线（即斜线）与平面之间的夹角。

- 定义范围：通常为0°到90°之间。

二、求解方法总结

三、示例说明

假设一条直线的方向向量为 $ \vec{v} = (1, 2, 3) $，一个平面的法向量为 $ \vec{n} = (2, -1, 1) $。

1. 计算点积：

$ \vec{v} \cdot \vec{n} = 1 \times 2 + 2 \times (-1) + 3 \times 1 = 2 - 2 + 3 = 3 $

2. 计算模长：

$ \vec{v} = \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{14} $

$ \vec{n} = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{6} $

3. 计算夹角余弦值：

$ \cos\theta = \frac{3}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{6}} = \frac{3}{\sqrt{84}} \approx 0.331 $

4. 求角度：

$ \theta \approx \cos^{-1}(0.331) \approx 70.7^\circ $

5. 直线与平面所成的角：

$ \alpha = 90^\circ - 70.7^\circ = 19.3^\circ $

四、注意事项

- 若直线位于平面上，则所成角为0°；

- 若直线垂直于平面，则所成角为90°；

- 实际应用中，应结合具体图形进行判断，避免仅依赖数值计算。

通过上述方法，可以系统地求出直线与平面所成的角。理解并掌握这一过程，有助于提升对空间几何的理解和应用能力。