【数学期望公式】在概率论与统计学中，数学期望是一个非常重要的概念，用于描述随机变量在大量重复试验中取值的平均趋势。它反映了随机变量的“中心位置”，是进行风险评估、决策分析和统计推断的重要工具。
一、数学期望的基本定义
数学期望（Expected Value），通常用符号 $ E(X) $ 表示，是对随机变量 $ X $ 在所有可能结果下的加权平均值。权重为各个结果出现的概率。
对于离散型随机变量，数学期望计算公式为：
$$
E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot P(x_i)
$$
其中，$ x_i $ 是随机变量 $ X $ 的第 $ i $ 个可能取值，$ P(x_i) $ 是该取值出现的概率。
对于连续型随机变量，数学期望计算公式为：
$$
E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) \, dx
$$
其中，$ f(x) $ 是随机变量 $ X $ 的概率密度函数。
二、数学期望的性质
1. 线性性：对任意常数 $ a $ 和 $ b $，有
$$
E(aX + b) = aE(X) + b
$$
2. 期望的可加性：对任意两个随机变量 $ X $ 和 $ Y $，有
$$
E(X + Y) = E(X) + E(Y)
$$
3. 独立变量的乘积期望：若 $ X $ 与 $ Y $ 独立，则
$$
E(XY) = E(X) \cdot E(Y)
$$
4. 非负性：若 $ X \geq 0 $，则 $ E(X) \geq 0 $
三、常见分布的数学期望
以下是一些常见概率分布的数学期望公式：
| 分布名称 | 随机变量 $ X $ | 数学期望 $ E(X) $ |
| 伯努利分布 | $ X \sim B(1, p) $ | $ p $ |
| 二项分布 | $ X \sim B(n, p) $ | $ np $ |
| 泊松分布 | $ X \sim Pois(\lambda) $ | $ \lambda $ |
| 均匀分布 | $ X \sim U(a, b) $ | $ \frac{a + b}{2} $ |
| 正态分布 | $ X \sim N(\mu, \sigma^2) $ | $ \mu $ |
| 指数分布 | $ X \sim Exp(\lambda) $ | $ \frac{1}{\lambda} $ |
四、数学期望的应用
- 金融投资：用于评估投资组合的预期收益。
- 保险精算：计算保险产品的期望赔付金额。
- 游戏策略：帮助玩家判断游戏是否有利可图。
- 机器学习：在贝叶斯推理、强化学习中用于预测模型输出。
五、总结
数学期望是概率论中的核心概念之一，能够帮助我们理解随机变量的长期行为。无论是理论研究还是实际应用，掌握其计算方法和性质都至关重要。通过不同的概率分布，我们可以灵活地计算各类随机事件的期望值，从而做出更科学的决策。
| 项目 | 内容说明 |
| 定义 | 随机变量的加权平均值 |
| 公式 | 离散：$ \sum x_i P(x_i) $；连续：$ \int x f(x) dx $ |
| 性质 | 线性性、可加性、独立性等 |
| 应用领域 | 金融、保险、统计、机器学习等 |
| 常见分布期望 | 伯努利、二项、泊松、正态等 |
通过以上内容，可以全面了解数学期望的基本概念、计算方式及其在不同场景下的应用价值。
