【已知,椭圆C过点A(1,32),两个焦点为(-1,0),(1,0).(1)求椭圆】一、问题总结
本题给出一个椭圆C，其两个焦点分别为 $ F_1 = (-1, 0) $ 和 $ F_2 = (1, 0) $，并且该椭圆经过点 $ A(1, 32) $。要求我们根据这些信息求出椭圆的标准方程。
为了求解这个问题，我们需要结合椭圆的基本性质与几何定义，即椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和是一个定值，这个定值等于椭圆的长轴长度 $ 2a $。
二、解题思路
1. 确定椭圆的中心和焦距
由于两个焦点在 $ x $ 轴上，并且对称于原点，因此椭圆的中心在原点 $ (0, 0) $。
焦距 $ c = 1 $（从中心到每个焦点的距离）。
2. 利用椭圆定义计算 $ 2a $
设点 $ A(1, 32) $ 在椭圆上，则它到两个焦点的距离之和为 $ 2a $。
计算：
$$
d_1 = \sqrt{(1 - (-1))^2 + (32 - 0)^2} = \sqrt{4 + 1024} = \sqrt{1028}
$$
$$
d_2 = \sqrt{(1 - 1)^2 + (32 - 0)^2} = \sqrt{0 + 1024} = 32
$$
因此：
$$
2a = d_1 + d_2 = \sqrt{1028} + 32
$$
3. 计算 $ a $ 和 $ b $
椭圆的标准形式为：
$$
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1
$$
其中 $ a > b $，且满足关系：
$$
c^2 = a^2 - b^2
$$
已知 $ c = 1 $，代入得：
$$
1 = a^2 - b^2 \Rightarrow b^2 = a^2 - 1
$$
4. 代入点A验证椭圆方程
将点 $ A(1, 32) $ 代入标准方程：
$$
\frac{1^2}{a^2} + \frac{32^2}{b^2} = 1
$$
即：
$$
\frac{1}{a^2} + \frac{1024}{b^2} = 1
$$
用 $ b^2 = a^2 - 1 $ 代入：
$$
\frac{1}{a^2} + \frac{1024}{a^2 - 1} = 1
$$
5. 解方程求 $ a^2 $
通分并化简：
$$
\frac{a^2 - 1 + 1024a^2}{a^2(a^2 - 1)} = 1
\Rightarrow \frac{1025a^2 - 1}{a^2(a^2 - 1)} = 1
$$
两边乘以分母：
$$
1025a^2 - 1 = a^4 - a^2
\Rightarrow a^4 - 1026a^2 + 1 = 0
$$
解这个四次方程可得：
$$
a^2 = \frac{1026 \pm \sqrt{1026^2 - 4}}{2}
$$
由于 $ a^2 > 1 $，取正根：
$$
a^2 = \frac{1026 + \sqrt{1052672}}{2}
$$
近似计算：
$$
a^2 \approx \frac{1026 + 1026}{2} = 1026
$$
所以：
$$
b^2 = a^2 - 1 = 1025
$$
三、最终答案表格
| 项目 | 内容 |
| 椭圆中心 | $ (0, 0) $ |
| 焦点坐标 | $ (-1, 0) $、$ (1, 0) $ |
| 焦距 $ c $ | $ 1 $ |
| 长轴长度 $ 2a $ | $ \sqrt{1028} + 32 $ |
| $ a^2 $ | $ \approx 1026 $ |
| $ b^2 $ | $ 1025 $ |
| 椭圆标准方程 | $ \frac{x^2}{1026} + \frac{y^2}{1025} = 1 $ |
四、结论
通过分析椭圆的几何性质和代数方法，我们得出椭圆的标准方程为：
$$
\frac{x^2}{1026} + \frac{y^2}{1025} = 1
$$
该椭圆以原点为中心，焦点位于 $ x $ 轴上，且经过点 $ A(1, 32) $。
