【求导公式介绍】在微积分中，求导是研究函数变化率的重要工具。掌握常见的求导公式，有助于快速计算函数的导数，并为后续的积分、极值分析等提供基础支持。以下是对常见函数求导公式的总结，结合表格形式展示，便于查阅和理解。
一、基本求导公式
| 函数形式 | 导数公式 | 说明 |
| $ f(x) = C $（常数） | $ f'(x) = 0 $ | 常数的导数为零 |
| $ f(x) = x^n $ | $ f'(x) = nx^{n-1} $ | 幂函数求导法则 |
| $ f(x) = e^x $ | $ f'(x) = e^x $ | 指数函数的导数等于自身 |
| $ f(x) = a^x $ | $ f'(x) = a^x \ln a $ | 底数为任意正数的指数函数 |
| $ f(x) = \ln x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x} $ | 自然对数的导数 |
| $ f(x) = \log_a x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x \ln a} $ | 以a为底的对数函数 |
| $ f(x) = \sin x $ | $ f'(x) = \cos x $ | 正弦函数的导数是余弦函数 |
| $ f(x) = \cos x $ | $ f'(x) = -\sin x $ | 余弦函数的导数是负的正弦函数 |
| $ f(x) = \tan x $ | $ f'(x) = \sec^2 x $ | 正切函数的导数 |
| $ f(x) = \cot x $ | $ f'(x) = -\csc^2 x $ | 余切函数的导数 |
二、复合函数求导（链式法则）
当函数由多个部分组成时，需要使用链式法则进行求导：
- 若 $ y = f(u) $，且 $ u = g(x) $，则
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}
$$
例如：
$ y = (3x + 2)^5 $，令 $ u = 3x + 2 $，则
$$
\frac{dy}{dx} = 5(3x + 2)^4 \cdot 3 = 15(3x + 2)^4
$$
三、乘积与商的求导法则
- 乘积法则：若 $ y = u(x)v(x) $，则
$$
y' = u'v + uv'
$$
- 商法则：若 $ y = \frac{u(x)}{v(x)} $，则
$$
y' = \frac{u'v - uv'}{v^2}
$$
四、高阶导数简介
高阶导数是指对函数连续求导多次的结果。例如：
- 一阶导数：$ f'(x) $
- 二阶导数：$ f''(x) $
- 三阶导数：$ f'''(x) $
对于某些函数，如多项式函数，可以逐次求导直到导数为零；而对于三角函数或指数函数，则可能产生周期性或递增的变化。
五、小结
掌握这些基本的求导公式和规则，是学习微积分的基础。通过熟练运用链式法则、乘积法则和商法则，能够处理更复杂的函数求导问题。同时，高阶导数也为函数的凹凸性、拐点等性质分析提供了重要依据。
希望这份简洁明了的求导公式总结能帮助你更好地理解和应用微积分知识。
