【什么是负定矩阵】负定矩阵是线性代数中一个重要的概念，常用于优化理论、二次型分析以及微分方程稳定性研究等领域。它与正定矩阵相对，具有类似的性质，但在符号上有所不同。理解负定矩阵有助于我们判断某些函数的极值点性质或系统的稳定性。
一、
负定矩阵是一种特殊的对称矩阵，其所有特征值均为负数。对于任意非零向量 x，二次型 xᵀAx 的结果始终为负。这使得负定矩阵在数学和工程应用中具有重要意义。
负定矩阵的判定方法包括：
- 特征值全部为负；
- 所有顺序主子式（leading principal minor）交替为负；
- 可通过二次型的符号来判断。
负定矩阵与正定矩阵类似，但符号相反，因此它们在数学建模和物理问题中常常成对出现。
二、表格对比：正定矩阵 vs 负定矩阵
| 特性 | 正定矩阵 | 负定矩阵 |
| 定义 | 对称矩阵，所有特征值 > 0 | 对称矩阵，所有特征值 < 0 |
| 二次型 | xᵀAx > 0（∀x ≠ 0） | xᵀAx < 0（∀x ≠ 0） |
| 主子式 | 所有顺序主子式 > 0 | 所有顺序主子式 < 0（奇数阶为负，偶数阶为正） |
| 应用场景 | 最小值点、稳定性分析 | 极大值点、系统稳定性分析 |
| 例子 | 矩阵 [[2, 1], [1, 2]] | 矩阵 [[-2, -1], [-1, -2]] |
三、实际应用举例
在优化问题中，若目标函数的海森矩阵（Hessian matrix）为负定，则该点是一个局部极大值点。例如，在经济学中，当考虑成本函数时，若其海森矩阵为负定，说明该点是成本最低的点。
在控制系统中，如果系统的动态矩阵为负定，通常表示系统是稳定的，即扰动会随时间衰减。
四、总结
负定矩阵是一种重要的数学工具，广泛应用于多个领域。它不仅帮助我们判断函数的极值性质，还在控制理论和数值分析中扮演关键角色。了解负定矩阵的定义、性质和判定方法，有助于更深入地理解相关领域的数学模型。
