在信号处理和数学领域中，傅里叶变换是一种将时域信号转换为频域表示的重要工具。本文将详细推导正弦函数 \( \sin(\omega t) \) 的傅里叶变换。
1. 傅里叶变换的基本公式
傅里叶变换的定义如下：
\[
F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-j\omega t} dt
\]
其中，\( f(t) \) 是时间域函数，\( F(\omega) \) 是频率域函数，\( j \) 是虚数单位。
2. 正弦函数的表达式
正弦函数 \( \sin(\omega t) \) 可以通过欧拉公式表示为：
\[
\sin(\omega t) = \frac{e^{j\omega t} - e^{-j\omega t}}{2j}
\]
3. 代入傅里叶变换公式
将 \( \sin(\omega t) \) 的欧拉公式代入傅里叶变换公式：
\[
F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} \left( \frac{e^{j\omega t} - e^{-j\omega t}}{2j} \right) e^{-j\omega' t} dt
\]
4. 分解积分
将积分分解为两部分：
\[
F(\omega) = \frac{1}{2j} \left[ \int_{-\infty}^{\infty} e^{j(\omega - \omega') t} dt - \int_{-\infty}^{\infty} e^{-j(\omega + \omega') t} dt \right]
\]
5. 计算积分
利用冲激函数的性质：
\[
\int_{-\infty}^{\infty} e^{j(\omega - \omega') t} dt = 2\pi \delta(\omega - \omega')
\]
\[
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-j(\omega + \omega') t} dt = 2\pi \delta(\omega + \omega')
\]
6. 合并结果
将上述结果代入，得到：
\[
F(\omega) = \frac{1}{2j} \left[ 2\pi \delta(\omega - \omega') - 2\pi \delta(\omega + \omega') \right]
\]
7. 最终表达式
简化后，得到正弦函数的傅里叶变换：
\[
F(\omega) = \pi j \left[ \delta(\omega - \omega') - \delta(\omega + \omega') \right]
\]
结论
通过上述推导，我们得到了正弦函数 \( \sin(\omega t) \) 的傅里叶变换结果。这一结果表明，正弦函数的频谱由两个冲激函数组成，分别位于 \( \pm \omega' \) 处，且具有相反的相位。
希望本文的推导过程清晰且易于理解，能够帮助读者更好地掌握傅里叶变换的基础知识及其应用。
