在数学领域中，等比数列是一种特殊的数列形式，其中每一项与前一项的比值保持不变。这种数列广泛应用于金融计算、物理问题以及工程分析等领域。为了更好地理解和应用等比数列，我们需要掌握其求和公式。以下是等比数列的两个重要求和公式及其推导过程。
公式一：有限项等比数列的求和公式
设等比数列为 \(a, ar, ar^2, \dots, ar^{n-1}\)，其中 \(a\) 为第一项，\(r\) 为公比，\(n\) 为项数。则该数列的前 \(n\) 项和 \(S_n\) 可表示为：
\[
S_n = a + ar + ar^2 + \dots + ar^{n-1}
\]
通过观察，我们可以发现这个序列具有一定的规律性。为了简化计算，我们将 \(S_n\) 乘以公比 \(r\) 后得到：
\[
rS_n = ar + ar^2 + ar^3 + \dots + ar^n
\]
接下来，我们用 \(S_n\) 减去 \(rS_n\)，可以消去中间大部分项：
\[
S_n - rS_n = a - ar^n
\]
整理后得到：
\[
S_n(1 - r) = a(1 - r^n)
\]
因此，有限项等比数列的求和公式为：
\[
S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}, \quad (r \neq 1)
\]
当 \(r = 1\) 时，数列变为常数序列，此时 \(S_n = na\)。
公式二：无限项等比数列的求和公式
对于无限项等比数列，当公比 \(|r| < 1\) 时，随着项数趋于无穷大，数列的和也会趋于一个固定的值。设该数列的前 \(n\) 项和为 \(S_n\)，则有：
\[
S_n = a + ar + ar^2 + \dots + ar^{n-1}
\]
利用公式一的结果，我们可以将其改写为：
\[
S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}
\]
当 \(n \to \infty\) 时，由于 \(|r| < 1\)，所以 \(r^n \to 0\)。因此，无限项等比数列的和 \(S_\infty\) 为：
\[
S_\infty = \frac{a}{1 - r}, \quad (|r| < 1)
\]
应用实例
假设某银行提供年利率为 \(5\%\) 的复利存款服务，如果初始存款为 \(1000\) 元，每年取出利息，那么三年后的总收益是多少？
根据题目条件，我们可以构建一个等比数列模型，其中 \(a = 1000 \times 0.05 = 50\)（每年的利息），\(r = 1\)（不考虑复利），\(n = 3\)（三年）。代入公式一得：
\[
S_3 = \frac{50(1 - 1^3)}{1 - 1} = 150
\]
因此，三年后的总收益为 \(150\) 元。
总结来说，熟练掌握等比数列的两个求和公式不仅能够帮助我们解决实际问题，还能加深对数列本质的理解。希望本文能为大家提供一些有益的帮助！
