【等差等比数列求和公式总结】在数学学习中，等差数列与等比数列是两个非常重要的数列类型，它们的求和公式在各类题目中经常被使用。为了帮助大家更好地掌握这些知识，本文对等差数列和等比数列的求和公式进行系统性总结，并通过表格形式直观展示。
一、等差数列求和公式
等差数列是指每一项与前一项的差为定值的数列，这个定值称为公差，记作 $ d $。设首项为 $ a_1 $，末项为 $ a_n $，项数为 $ n $，则其通项公式为：
$$
a_n = a_1 + (n - 1)d
$$
等差数列的前 $ n $ 项和公式为：
$$
S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) = \frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d
$$
该公式适用于所有等差数列的求和问题。
二、等比数列求和公式
等比数列是指每一项与前一项的比为定值的数列，这个定值称为公比，记作 $ r $。设首项为 $ a_1 $，末项为 $ a_n $，项数为 $ n $，则其通项公式为：
$$
a_n = a_1 \cdot r^{n-1}
$$
等比数列的前 $ n $ 项和公式为：
$$
S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} \quad (r \neq 1)
$$
当公比 $ r = 1 $ 时，等比数列为常数数列，此时：
$$
S_n = a_1 \cdot n
$$
三、对比总结表
| 项目 | 等差数列 | 等比数列 |
| 定义 | 每一项与前一项的差为定值 | 每一项与前一项的比为定值 |
| 公差 $ d $ | $ d = a_{n+1} - a_n $ | — |
| 公比 $ r $ | — | $ r = \frac{a_{n+1}}{a_n} $ |
| 通项公式 | $ a_n = a_1 + (n - 1)d $ | $ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} $ |
| 前 $ n $ 项和公式 | $ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $ | $ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $（$ r \neq 1 $） |
| 特殊情况 | 当 $ d = 0 $ 时，为常数列 | 当 $ r = 1 $ 时，为常数列 |
四、注意事项
1. 在使用等比数列求和公式时，必须注意公比 $ r $ 是否为 1，否则会导致分母为零。
2. 若题目中没有给出具体数值，可先根据题意设定变量，再代入公式计算。
3. 实际应用中，常结合等差或等比数列的性质进行灵活变形，例如利用对称性简化运算。
通过以上总结，我们可以清晰地看到等差数列与等比数列在结构和求和方式上的异同点。掌握这些公式并熟练运用，将有助于解决各种数列相关的数学问题。
