【除法求导法则公式】在微积分中，求导是研究函数变化率的重要工具。对于两个可导函数的商（即除法形式的函数），我们需要使用一种特殊的求导法则来计算其导数，这就是“除法求导法则”或称为“商法则”。该法则为求解复合函数的导数提供了明确的公式和步骤。
一、除法求导法则公式
设函数 $ f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} $，其中 $ u(x) $ 和 $ v(x) $ 都是可导函数，且 $ v(x) \neq 0 $，则其导数为：
$$
f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}
$$
该公式可以简化记忆为：“分子导乘分母减分子乘分母导，再除以分母平方”。
二、公式解析
| 项 | 含义 | 说明 |
| $ u(x) $ | 分子函数 | 被除的函数 |
| $ v(x) $ | 分母函数 | 除以的函数 |
| $ u'(x) $ | 分子函数的导数 | 对分子求导 |
| $ v'(x) $ | 分母函数的导数 | 对分母求导 |
| $ [v(x)]^2 $ | 分母的平方 | 作为分母的一部分 |
三、使用步骤
1. 识别分子和分母函数：将原函数写成 $ \frac{u(x)}{v(x)} $ 的形式。
2. 分别求导：对 $ u(x) $ 和 $ v(x) $ 分别求导，得到 $ u'(x) $ 和 $ v'(x) $。
3. 代入公式：将各部分代入商法则公式中进行计算。
4. 化简表达式：根据需要对结果进行合并或化简。
四、示例演示
假设 $ f(x) = \frac{x^2 + 1}{x - 3} $，求其导数。
- $ u(x) = x^2 + 1 $，则 $ u'(x) = 2x $
- $ v(x) = x - 3 $，则 $ v'(x) = 1 $
代入公式：
$$
f'(x) = \frac{2x(x - 3) - (x^2 + 1)(1)}{(x - 3)^2}
= \frac{2x^2 - 6x - x^2 - 1}{(x - 3)^2}
= \frac{x^2 - 6x - 1}{(x - 3)^2}
$$
五、总结对比表
| 求导方法 | 公式 | 适用情况 | 特点 |
| 除法求导法则 | $ \frac{u'v - uv'}{v^2} $ | 函数为两个可导函数的商 | 需要分别求导分子和分母 |
| 乘法求导法则 | $ u'v + uv' $ | 函数为两个可导函数的积 | 简单相加 |
| 常数倍法则 | $ c \cdot u' $ | 函数为常数与函数的乘积 | 只需乘上常数 |
通过掌握“除法求导法则”，我们可以更高效地处理复杂的函数求导问题，尤其在物理、工程和经济等实际应用中具有广泛用途。建议多做练习题，以加深对该法则的理解和运用能力。
