【洛必达法则例题及答案】洛必达法则（L’Hôpital’s Rule）是微积分中用于求解不定型极限的一种重要方法，尤其适用于0/0或∞/∞形式的极限问题。通过对分子和分母分别求导后再次求极限，可以简化复杂函数的极限计算。以下是一些典型例题及其解答，帮助读者更好地理解和掌握该法则的应用。
一、洛必达法则简介
当函数 $ f(x) $ 和 $ g(x) $ 在某点 $ x = a $ 的邻域内可导，并且满足以下条件：
- $ \lim_{x \to a} f(x) = 0 $ 且 $ \lim_{x \to a} g(x) = 0 $
- 或者 $ \lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty $ 且 $ \lim_{x \to a} g(x) = \pm\infty $
如果 $ \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} $ 存在，则有：
$$
\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}
$$
二、例题与答案总结
| 题号 | 题目 | 解答过程 | 结果 |
| 1 | 求极限：$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} $ | 当 $ x \to 0 $ 时，分子和分母均趋于0，属于0/0型。应用洛必达法则： $ \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = \cos 0 = 1 $ | 1 |
| 2 | 求极限：$ \lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{e^x} $ | 当 $ x \to \infty $ 时，分子和分母均趋于无穷大，属于∞/∞型。应用洛必达法则两次： 第一次：$ \frac{2x}{e^x} $；第二次：$ \frac{2}{e^x} $，极限为0 | 0 |
| 3 | 求极限：$ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2} $ | 分子和分母均趋于0，应用洛必达法则： 第一次：$ \frac{e^x - 1}{2x} $；再应用一次： $ \frac{e^x}{2} $，代入 $ x=0 $ 得 $ \frac{1}{2} $ | $ \frac{1}{2} $ |
| 4 | 求极限：$ \lim_{x \to 1} \frac{\ln x}{x - 1} $ | 当 $ x \to 1 $ 时，分子和分母均为0，应用洛必达法则： $ \frac{1/x}{1} = 1/x $，代入 $ x=1 $ 得1 | 1 |
| 5 | 求极限：$ \lim_{x \to 0} \frac{\tan x - x}{x^3} $ | 分子和分母均为0，应用洛必达法则三次： 第一次：$ \frac{\sec^2 x - 1}{3x^2} $ 第二次：$ \frac{2\sec^2 x \tan x}{6x} $ 第三次：$ \frac{2(\sec^2 x + 2\sec^2 x \tan^2 x)}{6} $，代入 $ x=0 $ 得 $ \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $ | $ \frac{1}{3} $ |
三、注意事项
1. 适用范围：洛必达法则仅适用于0/0或∞/∞型极限，其他类型如 $ \infty - \infty $、$ 0 \cdot \infty $ 等需先进行变形。
2. 多次使用：若应用一次后仍为不定型，可继续使用洛必达法则。
3. 结果验证：有时即使使用洛必达法则，也可能无法得到确定结果，此时应考虑其他方法，如泰勒展开或等价无穷小替换。
通过以上例题与解析，可以看出洛必达法则在处理某些复杂极限问题时非常有效。但使用时也需注意其适用条件，避免误用导致错误结果。建议结合其他方法综合运用，提高解题效率与准确性。
