【频数的样本方差公式】在统计学中，方差是衡量数据波动程度的重要指标之一。当数据以“频数”的形式出现时，即某些数值或区间被重复出现的次数较多，计算其样本方差需要采用特定的公式。以下是对“频数的样本方差公式”的总结与说明。
一、基本概念
- 频数：指某一数值或区间在数据集中出现的次数。
- 样本方差：用于衡量一组样本数据相对于其平均值的离散程度。
当数据以频数形式给出时，我们不能直接使用标准样本方差公式（如 $ s^2 = \frac{1}{n-1} \sum (x_i - \bar{x})^2 $），而是需要根据频数进行调整。
二、频数的样本方差公式
设某组数据分为 $ k $ 个不同的类别或区间，每个类别对应的数值为 $ x_i $，对应的频数为 $ f_i $，则：
- 总样本数：$ n = \sum_{i=1}^{k} f_i $
- 样本均值：$ \bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{k} f_i x_i}{\sum_{i=1}^{k} f_i} $
- 样本方差：
$$
s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{k} f_i (x_i - \bar{x})^2
$$
该公式考虑了每个数值的出现次数，从而更准确地反映整体数据的离散程度。
三、计算步骤
| 步骤 | 操作说明 |
| 1 | 确定各组的数值 $ x_i $ 和对应的频数 $ f_i $ |
| 2 | 计算总样本数 $ n = \sum f_i $ |
| 3 | 计算样本均值 $ \bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{n} $ |
| 4 | 对每组计算 $ f_i (x_i - \bar{x})^2 $ |
| 5 | 将所有结果相加，再除以 $ n-1 $ 得到样本方差 |
四、示例表格
| 数值 $ x_i $ | 频数 $ f_i $ | $ f_i x_i $ | $ x_i - \bar{x} $ | $ (x_i - \bar{x})^2 $ | $ f_i (x_i - \bar{x})^2 $ |
| 10 | 2 | 20 | -5 | 25 | 50 |
| 15 | 3 | 45 | 0 | 0 | 0 |
| 20 | 5 | 100 | 5 | 25 | 125 |
| 合计 | 10 | 165 | 175 |
- 样本均值 $ \bar{x} = \frac{165}{10} = 15 $
- 样本方差 $ s^2 = \frac{175}{10-1} = \frac{175}{9} ≈ 19.44 $
五、总结
频数的样本方差公式是一种适用于分组数据或频数分布的计算方法。它通过将每个数值与其频数结合，能够更准确地反映数据的整体波动情况。在实际应用中，这一方法广泛用于教育、市场调研、人口统计等领域。
通过上述表格和计算过程，可以清晰地看到如何利用频数来计算样本方差，从而更好地理解数据的分布特征。
