【几何平均数的公式】几何平均数是统计学中一种常用的平均值计算方法，尤其适用于数据呈现指数增长或比例变化的情况。它在金融、经济、生物学等多个领域都有广泛应用。本文将对几何平均数的定义、公式及应用进行简要总结，并通过表格形式清晰展示其计算方式。
一、几何平均数的定义
几何平均数是指将一组数值相乘后，再开n次方（n为数值个数）所得到的结果。它特别适合用于计算增长率、比率或百分比变化等场景，能够更真实地反映数据的总体趋势。
二、几何平均数的公式
设有一组正实数 $ x_1, x_2, \ldots, x_n $，则它们的几何平均数 $ G $ 的计算公式为：
$$
G = \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdot \cdots \cdot x_n}
$$
或者写成：
$$
G = \left( \prod_{i=1}^{n} x_i \right)^{\frac{1}{n}}
$$
其中：
- $ n $ 是数据个数；
- $ \prod $ 表示连乘符号；
- $ G $ 为几何平均数。
三、几何平均数的特点
| 特点 | 描述 |
| 受极端值影响小 | 相较于算术平均数，几何平均数对极大值或极小值不敏感 |
| 适用于比例数据 | 特别适合处理增长率、利率、收益率等数据 |
| 必须为正数 | 所有数据必须为正数，否则无法计算 |
| 不适用于负数或零 | 若存在零或负数，几何平均数可能无意义或无法计算 |
四、几何平均数与算术平均数的区别
| 比较项 | 几何平均数 | 算术平均数 |
| 计算方式 | 连乘后开n次方 | 各数相加后除以个数 |
| 适用场景 | 增长率、比例、复利等 | 平均值、温度、成绩等 |
| 对极端值敏感度 | 较低 | 较高 |
| 数据要求 | 所有数据为正 | 允许负数和零 |
五、实例说明
假设某公司三年的年增长率分别为 10%、20% 和 30%，求这三年的平均增长率。
计算过程如下：
$$
G = \sqrt[3]{1.10 \times 1.20 \times 1.30} = \sqrt[3]{1.716} \approx 1.20
$$
即年平均增长率为 20%。
六、总结
几何平均数是一种重要的统计工具，尤其在涉及复利、增长率和比例变化时具有独特优势。相比算术平均数，它更能体现数据的真实变化趋势。在实际应用中，需确保所有数据为正数，以避免计算错误或结果无意义。
附表：几何平均数计算示例
| 数据项 | 数值 | 计算步骤 |
| x₁ | 1.10 | 1.10 |
| x₂ | 1.20 | 1.10 × 1.20 = 1.32 |
| x₃ | 1.30 | 1.32 × 1.30 = 1.716 |
| 总积 | - | 1.716 |
| 根号 | ³√1.716 ≈ 1.20 | - |
| 结果 | 1.20 | 年平均增长率为 20% |
