【三角函数的公式】三角函数是数学中非常重要的一类函数，广泛应用于几何、物理、工程等领域。它们描述了直角三角形边与角之间的关系，同时也可用于周期性现象的建模。本文将对常见的三角函数公式进行总结，并以表格形式展示，帮助读者更好地理解和记忆。
一、基本三角函数定义
在直角三角形中，设角为θ，则有以下六种基本三角函数：
| 函数名称 | 定义式 |
| 正弦（sin） | 对边 / 斜边 |
| 余弦（cos） | 邻边 / 斜边 |
| 正切（tan） | 对边 / 邻边 |
| 余切（cot） | 邻边 / 对边 |
| 正割（sec） | 斜边 / 邻边 |
| 余割（csc） | 斜边 / 对边 |
二、三角函数的基本关系
三角函数之间存在一些基本关系，有助于简化计算和推导。
| 关系类型 | 公式 |
| 倒数关系 | sinθ = 1/cscθ；cosθ = 1/secθ；tanθ = 1/cotθ |
| 商数关系 | tanθ = sinθ / cosθ；cotθ = cosθ / sinθ |
| 平方关系 | sin²θ + cos²θ = 1；1 + tan²θ = sec²θ；1 + cot²θ = csc²θ |
三、诱导公式
诱导公式用于将任意角θ转化为0°~360°之间的角，便于计算。
| 角度变化 | 公式 |
| θ + 2π 或 θ + 360° | sin(θ + 2π) = sinθ；cos(θ + 2π) = cosθ |
| -θ | sin(-θ) = -sinθ；cos(-θ) = cosθ |
| π - θ | sin(π - θ) = sinθ；cos(π - θ) = -cosθ |
| π + θ | sin(π + θ) = -sinθ；cos(π + θ) = -cosθ |
| π/2 - θ | sin(π/2 - θ) = cosθ；cos(π/2 - θ) = sinθ |
四、和差角公式
用于计算两个角度之和或差的三角函数值。
| 公式类型 | 公式 |
| 正弦和差 | sin(A ± B) = sinA cosB ± cosA sinB |
| 余弦和差 | cos(A ± B) = cosA cosB ∓ sinA sinB |
| 正切和差 | tan(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanA tanB) |
五、倍角公式
用于计算一个角的两倍、三倍等的三角函数值。
| 公式类型 | 公式 |
| 正弦倍角 | sin2θ = 2sinθ cosθ |
| 余弦倍角 | cos2θ = cos²θ - sin²θ = 2cos²θ - 1 = 1 - 2sin²θ |
| 正切倍角 | tan2θ = 2tanθ / (1 - tan²θ) |
六、半角公式
用于计算一个角的一半的三角函数值。
| 公式类型 | 公式 |
| 正弦半角 | sin(θ/2) = ±√[(1 - cosθ)/2] |
| 余弦半角 | cos(θ/2) = ±√[(1 + cosθ)/2] |
| 正切半角 | tan(θ/2) = ±√[(1 - cosθ)/(1 + cosθ)] = (sinθ)/(1 + cosθ) |
七、积化和差与和差化积公式
这些公式常用于三角函数的运算和简化。
| 公式类型 | 公式 |
| 积化和差 | sinA cosB = [sin(A+B) + sin(A-B)]/2 cosA cosB = [cos(A+B) + cos(A-B)]/2 sinA sinB = [cos(A-B) - cos(A+B)]/2 |
| 和差化积 | sinA + sinB = 2sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2] sinA - sinB = 2cos[(A+B)/2]sin[(A-B)/2] cosA + cosB = 2cos[(A+B)/2]cos[(A-B)/2] cosA - cosB = -2sin[(A+B)/2]sin[(A-B)/2] |
结语
三角函数的公式种类繁多，但掌握其基本关系和常用公式，能够大大提高解题效率。建议结合图形理解函数意义，并通过练习不断巩固记忆。希望本文能为你提供清晰的参考和实用的知识点整理。
