【三角函数正切公式】在三角函数中，正切（Tangent）是一个非常重要的函数，常用于解决与角度和边长相关的问题。正切函数的定义是直角三角形中对边与邻边的比值，通常用“tan”表示。本文将总结常见的正切公式，并以表格形式进行展示，帮助读者更清晰地理解和应用这些公式。
一、基本定义
在直角三角形中，设一个锐角为θ，则：
$$
\tan\theta = \frac{\text{对边}}{\text{邻边}}
$$
在单位圆中，正切函数可以表示为：
$$
\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}
$$
二、常用正切公式总结
| 公式名称 | 公式表达式 | 说明 |
| 正切定义 | $\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ | 由正弦与余弦导出 |
| 正切加法公式 | $\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha \tan\beta}$ | 计算两个角的正切和 |
| 正切减法公式 | $\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha \tan\beta}$ | 计算两个角的正切差 |
| 正切倍角公式 | $\tan(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta}$ | 计算两倍角的正切 |
| 正切半角公式 | $\tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{\sin\theta}{1 + \cos\theta} = \frac{1 - \cos\theta}{\sin\theta}$ | 用于计算半角的正切 |
| 正切与余切关系 | $\tan\theta = \frac{1}{\cot\theta}$ | 互为倒数关系 |
| 正切与正割关系 | $1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta$ | 基本恒等式之一 |
三、常见角度的正切值
| 角度（°） | 弧度（rad） | $\tan\theta$ |
| 0° | 0 | 0 |
| 30° | $\frac{\pi}{6}$ | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ |
| 45° | $\frac{\pi}{4}$ | 1 |
| 60° | $\frac{\pi}{3}$ | $\sqrt{3}$ |
| 90° | $\frac{\pi}{2}$ | 未定义 |
四、应用场景
正切公式广泛应用于几何、物理、工程等领域，例如：
- 在测量高度时，利用已知角度和距离求解建筑物的高度；
- 在电路分析中，用于计算交流电的相位差；
- 在计算机图形学中，用于旋转和投影变换。
五、注意事项
- 当$\cos\theta = 0$时，$\tan\theta$无定义；
- 正切函数的周期为$\pi$，即$\tan(\theta + n\pi) = \tan\theta$（n为整数）；
- 使用公式时需注意角度的单位（弧度或角度），避免计算错误。
通过掌握这些正切公式，可以更灵活地处理各种数学问题，提升解题效率和准确性。希望本文能为学习三角函数的同学提供参考和帮助。
