【等差等比数列以及相关公式】在数学中，数列是一种按一定顺序排列的数的集合。其中，等差数列和等比数列是两种最基本的数列形式，广泛应用于数学、物理、工程等多个领域。本文将对等差数列与等比数列的基本概念、通项公式、求和公式等内容进行总结，并以表格形式清晰展示。
一、等差数列
定义：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差是一个常数，那么这个数列称为等差数列。这个常数称为公差，记作 $ d $。
通项公式：
$$
a_n = a_1 + (n - 1)d
$$
其中，$ a_1 $ 是首项，$ n $ 是项数，$ d $ 是公差。
前 $ n $ 项和公式：
$$
S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) = \frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d
$$
性质：
- 若 $ m + n = p + q $，则 $ a_m + a_n = a_p + a_q $
- 等差数列中任意两项的平均值等于中间项的值
二、等比数列
定义：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的比是一个常数，那么这个数列称为等比数列。这个常数称为公比，记作 $ r $。
通项公式：
$$
a_n = a_1 \cdot r^{n - 1}
$$
其中，$ a_1 $ 是首项，$ n $ 是项数，$ r $ 是公比。
前 $ n $ 项和公式：
当 $ r \neq 1 $ 时，
$$
S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1}
$$
当 $ r = 1 $ 时，数列为常数列，和为 $ S_n = n \cdot a_1 $
性质：
- 若 $ m + n = p + q $，则 $ a_m \cdot a_n = a_p \cdot a_q $
- 等比数列中任意两项的几何平均值等于中间项的值
三、等差数列与等比数列对比表
| 项目 | 等差数列 | 等比数列 |
| 定义 | 每项与前一项的差为常数 | 每项与前一项的比为常数 |
| 公差（d） | $ d = a_{n+1} - a_n $ | $ r = \frac{a_{n+1}}{a_n} $ |
| 通项公式 | $ a_n = a_1 + (n - 1)d $ | $ a_n = a_1 \cdot r^{n - 1} $ |
| 前n项和公式 | $ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $ 或 $ S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d] $ | 当 $ r \neq 1 $ 时：$ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $；当 $ r = 1 $ 时：$ S_n = n \cdot a_1 $ |
| 性质 | 平均值等于中间项 | 几何平均值等于中间项 |
四、总结
等差数列与等比数列是数列中的基础类型，它们各自具有独特的规律和应用价值。掌握它们的通项公式和求和公式，有助于解决实际问题，如利息计算、增长率分析、物理运动模型等。通过对比学习，可以更清晰地理解两者的异同，提高数学思维能力和解题效率。
