【期望怎么求】在概率论与统计学中，期望是一个非常重要的概念，它表示随机变量在长期试验中平均结果的数学期望值。期望可以帮助我们预测某个事件的平均结果，广泛应用于金融、工程、科学等多个领域。
本文将从基本定义出发，总结期望的计算方法，并通过表格形式清晰展示不同情况下的计算方式，帮助读者快速掌握“期望怎么求”的核心内容。
一、期望的基本定义
期望（Expected Value）是随机变量在所有可能取值上按其概率加权后的平均值。用数学符号表示为：
$$
E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot P(x_i)
$$
其中：
- $ x_i $ 是随机变量 $ X $ 的第 $ i $ 个可能取值；
- $ P(x_i) $ 是该取值发生的概率；
- $ n $ 是所有可能取值的总数。
二、期望的计算方法总结
| 情况类型 | 随机变量类型 | 公式 | 说明 | ||
| 离散型随机变量 | 有限个可能取值 | $ E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot P(x_i) $ | 每个取值乘以对应的概率后求和 | ||
| 连续型随机变量 | 取值范围连续 | $ E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) dx $ | 对概率密度函数进行积分 | ||
| 条件期望 | 在已知某些条件下 | $ E(X | A) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot P(x_i | A) $ | 在事件 A 发生的前提下计算期望 |
| 多维随机变量 | 多个变量联合分布 | $ E(X,Y) = \sum_{i,j} x_i y_j \cdot P(x_i, y_j) $ | 联合概率下分别乘积再求和 |
三、实例解析
1. 投掷一枚均匀硬币
设随机变量 $ X $ 表示正面出现时的收益：
- 若正面（概率 0.5），收益为 +1；
- 若反面（概率 0.5），收益为 -1。
则期望为：
$$
E(X) = (1)(0.5) + (-1)(0.5) = 0
$$
2. 投掷一个六面骰子
每个点数出现的概率为 $ \frac{1}{6} $，期望为：
$$
E(X) = \frac{1+2+3+4+5+6}{6} = 3.5
$$
四、注意事项
- 期望不等于最可能的结果，它反映的是平均趋势。
- 期望可以为负数或非整数，这取决于随机变量的取值和概率分布。
- 期望具有线性性质，即 $ E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y) $。
五、总结
“期望怎么求”其实并不复杂，关键在于理解随机变量的取值及其对应的概率，然后按照相应的公式进行计算。无论是离散型还是连续型变量，只要掌握了基本原理，就能轻松应对各种问题。
通过上述表格和实例，我们可以清晰地看到不同情境下的期望计算方法，希望对大家有所帮助。
