【数列前n项和公式】在数学中，数列的前n项和是研究数列性质的重要工具之一。不同的数列类型（如等差数列、等比数列等）具有各自独特的求和公式。掌握这些公式不仅有助于解决实际问题，还能提高对数列规律的理解能力。
以下是对常见数列前n项和公式的总结，以文字说明与表格形式呈现，便于查阅和理解。
一、等差数列前n项和公式
定义：一个数列如果从第二项起，每一项与前一项的差是一个常数，则称为等差数列。这个常数称为公差，记作d。
通项公式：
$$ a_n = a_1 + (n - 1)d $$
前n项和公式：
$$ S_n = \frac{n}{2} [2a_1 + (n - 1)d] $$
或
$$ S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} $$
二、等比数列前n项和公式
定义：一个数列如果从第二项起，每一项与前一项的比是一个常数，则称为等比数列。这个常数称为公比，记作q。
通项公式：
$$ a_n = a_1 \cdot q^{n-1} $$
前n项和公式：
当 $ q \neq 1 $ 时，
$$ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q} $$
或
$$ S_n = a_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1} $$
当 $ q = 1 $ 时，
$$ S_n = n \cdot a_1 $$
三、其他常见数列前n项和公式
| 数列类型 | 公式 | 说明 |
| 等差数列 | $ S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d] $ | $ a_1 $ 为首项，$ d $ 为公差 |
| 等比数列 | $ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q} $ | $ a_1 $ 为首项，$ q $ 为公比，$ q \neq 1 $ |
| 常数数列 | $ S_n = n \cdot a_1 $ | 每一项都相等 |
| 自然数列 | $ S_n = \frac{n(n + 1)}{2} $ | 即1+2+3+…+n |
| 平方数列 | $ S_n = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} $ | 即1²+2²+3²+…+n² |
| 立方数列 | $ S_n = \left( \frac{n(n + 1)}{2} \right)^2 $ | 即1³+2³+3³+…+n³ |
四、总结
掌握数列前n项和的公式对于学习数列、级数以及相关应用问题非常重要。不同类型的数列有不同的求和方式，但它们都有明确的数学表达式。通过灵活运用这些公式，可以快速计算出数列的前n项和，从而为后续的数学分析提供基础支持。
在实际应用中，还需注意数列的类型判断、公差或公比的确定，以及是否满足某些特殊条件（如等比数列中的公比不等于1）。合理选择公式，能够有效提升解题效率和准确性。
