【三角函数公式总结】在数学学习中，三角函数是重要的基础知识之一，广泛应用于几何、物理、工程等领域。掌握常见的三角函数公式，有助于提高解题效率和理解能力。以下是对常见三角函数公式的系统总结，便于查阅与记忆。
一、基本定义
设角θ为一个任意角，在直角坐标系中，其终边与单位圆交于点P(x, y)，则：
| 名称 | 定义 |
| 正弦（sinθ） | sinθ = y |
| 余弦（cosθ） | cosθ = x |
| 正切（tanθ） | tanθ = y/x（x ≠ 0） |
| 余切（cotθ） | cotθ = x/y（y ≠ 0） |
| 正割（secθ） | secθ = 1/x（x ≠ 0） |
| 余割（cscθ） | cscθ = 1/y（y ≠ 0） |
二、同角三角函数关系
| 公式 | 说明 |
| sin²θ + cos²θ = 1 | 基本恒等式 |
| tan²θ + 1 = sec²θ | 由基本恒等式推导 |
| 1 + cot²θ = csc²θ | 由基本恒等式推导 |
| tanθ = sinθ / cosθ | 正切与正弦、余弦的关系 |
| cotθ = cosθ / sinθ | 余切与余弦、正弦的关系 |
三、诱导公式（角度变换）
| 角度变化 | 三角函数值的变化 |
| sin(π/2 - θ) | cosθ |
| cos(π/2 - θ) | sinθ |
| tan(π/2 - θ) | cotθ |
| sin(π - θ) | sinθ |
| cos(π - θ) | -cosθ |
| tan(π - θ) | -tanθ |
| sin(π + θ) | -sinθ |
| cos(π + θ) | -cosθ |
| tan(π + θ) | tanθ |
四、和差角公式
| 公式 | 说明 |
| sin(A ± B) = sinA cosB ± cosA sinB | 正弦的和差角公式 |
| cos(A ± B) = cosA cosB ∓ sinA sinB | 余弦的和差角公式 |
| tan(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanA tanB) | 正切的和差角公式 |
五、倍角公式
| 公式 | 说明 |
| sin2θ = 2 sinθ cosθ | 正弦的二倍角公式 |
| cos2θ = cos²θ - sin²θ = 2cos²θ - 1 = 1 - 2sin²θ | 余弦的二倍角公式 |
| tan2θ = 2 tanθ / (1 - tan²θ) | 正切的二倍角公式 |
六、半角公式
| 公式 | 说明 |
| sin(θ/2) = ±√[(1 - cosθ)/2] | 正弦的半角公式 |
| cos(θ/2) = ±√[(1 + cosθ)/2] | 余弦的半角公式 |
| tan(θ/2) = ±√[(1 - cosθ)/(1 + cosθ)] = sinθ/(1 + cosθ) | 正切的半角公式 |
七、积化和差公式
| 公式 | 说明 |
| sinA cosB = [sin(A+B) + sin(A-B)] / 2 | 正弦与余弦的乘积 |
| cosA cosB = [cos(A+B) + cos(A-B)] / 2 | 余弦与余弦的乘积 |
| sinA sinB = [cos(A-B) - cos(A+B)] / 2 | 正弦与正弦的乘积 |
八、和差化积公式
| 公式 | 说明 |
| sinA + sinB = 2 sin[(A+B)/2] cos[(A-B)/2] | 正弦的和变积 |
| sinA - sinB = 2 cos[(A+B)/2] sin[(A-B)/2] | 正弦的差变积 |
| cosA + cosB = 2 cos[(A+B)/2] cos[(A-B)/2] | 余弦的和变积 |
| cosA - cosB = -2 sin[(A+B)/2] sin[(A-B)/2] | 余弦的差变积 |
九、反三角函数基础
| 函数 | 定义域 | 值域 |
| arcsin x | [-1, 1] | [-π/2, π/2] |
| arccos x | [-1, 1] | [0, π] |
| arctan x | (-∞, +∞) | (-π/2, π/2) |
通过以上总结，可以清晰地看到三角函数的各类公式及其应用场景。建议在学习过程中结合图形理解和实际题目练习，以加深对公式的掌握程度。
