【三角函数公式总结大全】三角函数是数学中非常重要的一部分，广泛应用于几何、物理、工程等领域。为了便于学习和记忆，以下是对常见三角函数公式的系统总结，包括基本定义、恒等式、诱导公式、和差角公式、倍角公式以及一些常用值。
一、基本概念与定义
三角函数是以直角三角形的边角关系为基础定义的，也可以推广到单位圆上。
| 函数名称 | 定义式（直角三角形） | 定义式（单位圆） |
| 正弦（sin） | 对边 / 斜边 | y |
| 余弦（cos） | 邻边 / 斜边 | x |
| 正切（tan） | 对边 / 邻边 | y/x |
| 余切（cot） | 邻边 / 对边 | x/y |
| 正割（sec） | 斜边 / 邻边 | 1/x |
| 余割（csc） | 斜边 / 对边 | 1/y |
二、基本三角恒等式
| 公式 | 表达式 |
| 基本恒等式 | $ \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 $ |
| 正切与余切关系 | $ \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} $, $ \cot\theta = \frac{1}{\tan\theta} $ |
| 正割与余割关系 | $ \sec\theta = \frac{1}{\cos\theta} $, $ \csc\theta = \frac{1}{\sin\theta} $ |
| 平方恒等式 | $ 1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta $, $ 1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta $ |
三、诱导公式（角度转换）
| 角度变换 | 公式 |
| $ \sin(\pi - \theta) $ | $ \sin\theta $ |
| $ \cos(\pi - \theta) $ | $ -\cos\theta $ |
| $ \sin(\pi + \theta) $ | $ -\sin\theta $ |
| $ \cos(\pi + \theta) $ | $ -\cos\theta $ |
| $ \sin(2\pi - \theta) $ | $ -\sin\theta $ |
| $ \cos(2\pi - \theta) $ | $ \cos\theta $ |
| $ \sin(-\theta) $ | $ -\sin\theta $ |
| $ \cos(-\theta) $ | $ \cos\theta $ |
四、和差角公式
| 公式 | 表达式 |
| $ \sin(A \pm B) $ | $ \sin A \cos B \pm \cos A \sin B $ |
| $ \cos(A \pm B) $ | $ \cos A \cos B \mp \sin A \sin B $ |
| $ \tan(A \pm B) $ | $ \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B} $ |
五、倍角公式
| 公式 | 表达式 |
| $ \sin 2\theta $ | $ 2\sin\theta \cos\theta $ |
| $ \cos 2\theta $ | $ \cos^2\theta - \sin^2\theta = 2\cos^2\theta - 1 = 1 - 2\sin^2\theta $ |
| $ \tan 2\theta $ | $ \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta} $ |
六、半角公式
| 公式 | 表达式 |
| $ \sin\frac{\theta}{2} $ | $ \pm \sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{2}} $ |
| $ \cos\frac{\theta}{2} $ | $ \pm \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}} $ |
| $ \tan\frac{\theta}{2} $ | $ \pm \sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{1 + \cos\theta}} = \frac{\sin\theta}{1 + \cos\theta} = \frac{1 - \cos\theta}{\sin\theta} $ |
七、常用角度的三角函数值表
| 角度（°） | 弧度（rad） | sinθ | cosθ | tanθ |
| 0° | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 30° | π/6 | 1/2 | √3/2 | 1/√3 |
| 45° | π/4 | √2/2 | √2/2 | 1 |
| 60° | π/3 | √3/2 | 1/2 | √3 |
| 90° | π/2 | 1 | 0 | 不存在 |
八、其他重要公式
- 积化和差公式：
$$
\sin A \cos B = \frac{1}{2}[\sin(A+B) + \sin(A-B)
$$
$$
\cos A \cos B = \frac{1}{2}[\cos(A+B) + \cos(A-B)
$$
$$
\sin A \sin B = \frac{1}{2}[\cos(A-B) - \cos(A+B)
$$
- 和差化积公式：
$$
\sin A + \sin B = 2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right)
$$
$$
\cos A + \cos B = 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right)
$$
通过以上内容的整理，可以系统地掌握三角函数的核心公式与应用方法。在实际问题中，灵活运用这些公式能够简化计算、提高解题效率。建议结合图形理解，加深对三角函数性质的认识。
